Uma função quadrática tem suas raízes 1 e 3 . Determine a lei da função, considerando que a
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- As raízes (zeros) da função quadrática são
e . - O coeficiente líder
vale .
O que é pedido:
- Determinar a lei da função quadrática, ou seja, encontrar
explicitamente.
Passo 2
Conceito importante (muito usado em provas): se uma função quadrática tem coeficiente líder
e raízes
e
, então ela pode ser escrita na forma fatorada
Explicando cada coisa nessa fórmula:
-
é a função que queremos. -
é o coeficiente do termo (chamado coeficiente líder). Ele escala a parábola verticalmente e determina “abre para cima” se ou “abre para baixo” se . -
e são as raízes: valores de que tornam . Por isso cada fator zera quando .
Essa é uma aplicação do Teorema do Resto / Teorema do Fator: seé raiz, então é fator do polinômio.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula com os dados do enunciado:
-
, -
, -
.
Substituindo na forma fatorada obtemos
Pode-se omitir o
multiplicando:
.
Passo 4
Vamos multiplicar os fatores passo a passo (método FOIL / distributiva):
Calcule os termos:
Calcule os termos:
Somando todos os termos:
Agrupando os termos semelhantes (
) resulta
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança na prova):
- Checar que as raízes realmente zeram a função:
- O coeficiente do termo
é , conforme exigido ( ).