Uma função quadrática tem suas raízes 1 e 3 . Determine a lei da função, considerando que a =1.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • As raízes (zeros) da função quadrática são 1 e 3.
  • O coeficiente líder a vale 1.
O que é pedido:
  • Determinar a lei da função quadrática, ou seja, encontrar f(x) explicitamente.

Passo 2

Conceito importante (muito usado em provas): se uma função quadrática tem coeficiente líder a e raízes r_1 e r_2, então ela pode ser escrita na forma fatorada
f(x)=a\,(x-r_1)(x-r_2).
Explicando cada coisa nessa fórmula:
  • f(x) é a função que queremos.
  • a é o coeficiente do termo x^2 (chamado coeficiente líder). Ele escala a parábola verticalmente e determina “abre para cima” se a>0 ou “abre para baixo” se a<0.
  • r_1 e r_2 são as raízes: valores de x que tornam f(x)=0. Por isso cada fator (x-r_i) zera quando x=r_i.
    Essa é uma aplicação do Teorema do Resto / Teorema do Fator: se r é raiz, então (x-r) é fator do polinômio.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula com os dados do enunciado:
  • r_1=1,
  • r_2=3,
  • a=1.
Substituindo na forma fatorada obtemos
f(x)=1\cdot(x-1)(x-3).
Pode-se omitir o 1 multiplicando: (x-1)(x-3).

Passo 4

Vamos multiplicar os fatores passo a passo (método FOIL / distributiva):
Calcule os termos:
x\cdot x = x^2,
x\cdot(-3) = -3x,
(-1)\cdot x = -x,
(-1)\cdot(-3)=3.
Somando todos os termos:
x^2 + (-3x) + (-x) + 3 = x^2 -3x -x +3.
Agrupando os termos semelhantes ( -3x - x = -4x) resulta
x^2 -4x +3.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança na prova):
  • Checar que as raízes realmente zeram a função:
f(1)=1^2-4\cdot1+3=1-4+3=0,
f(3)=3^2-4\cdot3+3=9-12+3=0.
  • O coeficiente do termo x^2 é 1, conforme exigido ( a=1).

Resposta

f(x)=x^2-4x+3

Exercícios relacionados