No Método da Bisseção, dado
e
como estremos de um intervalo que contenha a raiz, é possível estimar o erro em cada iteração, mesmo antes de encontrar aproximações para as raízes. Sabendo disso, dado o intervalo
, quantas iterações são necessárias para garantir um erro menor ou igual a 0,05
Passo 1
O enunciado fornece o intervalo inicial e a tolerância que queremos garantir:
- Intervalo inicial:
. Vou interpretar isso como e . - Tolerância desejada (erro máximo):
.
A pergunta é: quantas iterações são necessárias para garantir que a aproximação obtida pelo método (basta garantir o erro absoluto) seja menor ou igual a
?
Passo 2
Entendendo a ideia do método (explicação didática e intuitiva).
- Em cada iteração o método divide o intervalo atual ao meio e conserva o subintervalo que contém a raiz. Ou seja, a cada iteração o comprimento do intervalo que sabemos conter a raiz é cortado pela metade.
- Se o intervalo inicial tem comprimento
, depois de iterações o comprimento do intervalo que contém a raiz vale . - Se tomamos como aproximação o ponto médio desse intervalo, a máxima distância entre essa aproximação e a raiz (erro absoluto máximo) é a metade do comprimento do intervalo. Portanto o erro máximo após
iterações satisfaz
Explicando cada termo:
-
e são os extremos iniciais do intervalo (aqui e ). -
é o número de iterações completas do método. - O denominador
aparece porque o intervalo foi dividido por e o erro é metade desse comprimento.
Passo 3
Montar a desigualdade que garante o erro pedido.
Queremos , logo impomos
Queremos
Agora isolamos
. Multiplicando e aplicando logaritmo base
obtemos
Passo 4
Substituir os valores numéricos.
- O comprimento inicial do intervalo é
- O quociente é
Portanto a condição vira
Passo 5
Calcular o logaritmo e obter
.
Usando mudança de base para logaritmo (explicando rapidamente: ), temos
Usando mudança de base para logaritmo (explicando rapidamente:
Assim
Como
deve ser um inteiro (número de iterações), o menor
que satisfaz isso é
Passo 6
Verificação rápida (para ficar seguro).
- Se
, o erro máximo garantido é
logo atende à tolerância.
- Se
, o erro máximo é
logo 3 iterações não são suficientes. Portanto 4 é o número mínimo necessário.