No Método da Bisseção, dado x_{0} e x_{1} como estremos de um intervalo que contenha a raiz, é possível estimar o erro em cada iteração, mesmo antes de encontrar aproximações para as raízes. Sabendo disso, dado o intervalo [0,5 ; 2], quantas iterações são necessárias para garantir um erro menor ou igual a 0,05

Passo 1

O enunciado fornece o intervalo inicial e a tolerância que queremos garantir:
  • Intervalo inicial: [0,5;2]. Vou interpretar isso como x_0 = 0,5 e x_1 = 2.
  • Tolerância desejada (erro máximo): \varepsilon = 0,05.
A pergunta é: quantas iterações são necessárias para garantir que a aproximação obtida pelo método (basta garantir o erro absoluto) seja menor ou igual a \varepsilon = 0,05?

Passo 2

Entendendo a ideia do método (explicação didática e intuitiva).
  • Em cada iteração o método divide o intervalo atual ao meio e conserva o subintervalo que contém a raiz. Ou seja, a cada iteração o comprimento do intervalo que sabemos conter a raiz é cortado pela metade.
  • Se o intervalo inicial tem comprimento b-a, depois de n iterações o comprimento do intervalo que contém a raiz vale \dfrac{b-a}{2^{n}}.
  • Se tomamos como aproximação o ponto médio desse intervalo, a máxima distância entre essa aproximação e a raiz (erro absoluto máximo) é a metade do comprimento do intervalo. Portanto o erro máximo após n iterações satisfaz
\text{erro}_{\max} \le \frac{b-a}{2^{n+1}}.
Explicando cada termo:
  • a e b são os extremos iniciais do intervalo (aqui a=0,5 e b=2).
  • n é o número de iterações completas do método.
  • O denominador 2^{n+1} aparece porque o intervalo foi dividido por 2^{n} e o erro é metade desse comprimento.

Passo 3

Montar a desigualdade que garante o erro pedido.
Queremos \text{erro}_{\max} \le \varepsilon, logo impomos
\frac{b-a}{2^{n+1}} \le \varepsilon.
Agora isolamos n. Multiplicando e aplicando logaritmo base 2 obtemos
2^{n+1} \ge \frac{b-a}{\varepsilon} \quad\Rightarrow\quad n+1 \ge \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right) \quad\Rightarrow\quad n \ge \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right) - 1.

Passo 4

Substituir os valores numéricos.
  • O comprimento inicial do intervalo é
b-a = 2 - 0,5 = 1,5.
  • O quociente é
\frac{b-a}{\varepsilon} = \frac{1,5}{0,05} = 30.
Portanto a condição vira
n+1 \ge \log_{2}(30).

Passo 5

Calcular o logaritmo e obter n.
Usando mudança de base para logaritmo (explicando rapidamente: \log_{2}x = \dfrac{\ln x}{\ln 2}), temos
\log_{2}(30) = \frac{\ln 30}{\ln 2} \approx \frac{3{,}401197}{0{,}693147} \approx 4{,}9069.
Assim
n+1 \ge 4{,}9069 \quad\Rightarrow\quad n \ge 3{,}9069.
Como n deve ser um inteiro (número de iterações), o menor n que satisfaz isso é
n = 4.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar seguro).
  • Se n=4, o erro máximo garantido é
\frac{b-a}{2^{n+1}}=\frac{1,5}{2^{5}}=\frac{1,5}{32}=0{,}046875 \le 0{,}05,
logo atende à tolerância.
  • Se n=3, o erro máximo é
\frac{1,5}{2^{4}}=\frac{1,5}{16}=0{,}09375>0{,}05,
logo 3 iterações não são suficientes. Portanto 4 é o número mínimo necessário.

Resposta

4 iterações

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