A função real
satisfaz a seguinte equação
. Considere a função
, definida por
com
e
. Sabendo que
, podemos afirmar que o valor da constante real k para
é: 2
Passo 1
O enunciado diz que a função real f(x) satisfaz a equação sen\bigl(\tfrac{x}{2}+f(x)\bigr)=x·f(x)-\tfrac{x}{2}, define-se g(x)=k·\tfrac{f(x)}{x} (com x≠0) e sabe-se que f(2)=-1. A meta é achar k tal que g’(2)=f’(2). Vamos usar derivação implícita para encontrar f’(2) e depois derivar g.
Passo 2
Definimos h(x)=\tfrac{x}{2}+f(x) para simplificar. A equação fica
Derivando ambos os lados em relação a x, usando cadeia à esquerda e regra do produto à direita, temos
onde h’(x)=\tfrac12+f’(x). Substituindo e isolando f’(x) obtemos
Passo 3
Agora avaliamos em x=2. Como f(2)=-1, temos
Então o numerador vira -1-\tfrac{1+1}{2}=-2 e o denominador 1-2=-1. Logo
Passo 4
Derivamos g(x)=k,f(x)/x por regra do quociente:
Em x=2 isso dá
Passo 5
Para ter g’(2)=f’(2) é preciso k\frac{5}{4}=2. Resolvendo, k=2·\tfrac{4}{5}=\tfrac{8}{5}.
Resposta
k = \tfrac{8}{5