A função real f(x) satisfaz a seguinte equação sen(x2+f(x))=x cdot f(x)-x2. Considere a função g, definida por g(x)=k cdot f(x)x com r neq 0 e k in R. Sabendo que f(2)=-1, podemos afirmar que o valor da constante real k para g^prime(2)=f^prime(2) é: 2

Passo 1

O enunciado diz que a função real f(x) satisfaz a equação sen\bigl(\tfrac{x}{2}+f(x)\bigr)=x·f(x)-\tfrac{x}{2}, define-se g(x)=k·\tfrac{f(x)}{x} (com x≠0) e sabe-se que f(2)=-1. A meta é achar k tal que g’(2)=f’(2). Vamos usar derivação implícita para encontrar f’(2) e depois derivar g.

Passo 2

Definimos h(x)=\tfrac{x}{2}+f(x) para simplificar. A equação fica
sinl(h(x)r)=x,f(x)-tfracx2
Derivando ambos os lados em relação a x, usando cadeia à esquerda e regra do produto à direita, temos
cosl(h(x)r),h'(x)=f(x)+x,f'(x)-tfrac12,
onde h’(x)=\tfrac12+f’(x). Substituindo e isolando f’(x) obtemos
f'(x)=f(x)-tfrac1+cosl(tfracx2+f(x)r)2cosl(tfracx2+f(x)r)-x

Passo 3

Agora avaliamos em x=2. Como f(2)=-1, temos
tfracx2+f(x)|x=2=1-1=0,cos0=1
Então o numerador vira -1-\tfrac{1+1}{2}=-2 e o denominador 1-2=-1. Logo
f'(2)=-2-1=2

Passo 4

Derivamos g(x)=k,f(x)/x por regra do quociente:
g'(x)=kx,f'(x)-f(x)x^2
Em x=2 isso dá
g'(2)=k2f'(2)-f(2)4=k2cdot2-(-1)4=k54

Passo 5

Para ter g’(2)=f’(2) é preciso k\frac{5}{4}=2. Resolvendo, k=2·\tfrac{4}{5}=\tfrac{8}{5}.

Resposta

k = \tfrac{8}{5

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