O valor das constantes reais para as quais a função real seja derivável para todo é: a=1 / 2 e b=1
Passo 1
Temos a função definida por partes:
$$
g(x)= g(x)= a,x+b,&x<= -1, a,x^3+x+2b,&x>-1 $$
O objetivo é encontrar os valores de a e b para que g seja derivável em todo real. Vamos usar as condições de continuidade e de derivabilidade em x=-1.
-a+b=-a-1+2b $$
Cancelando -a+b de ambos os lados, obtemos -a-1+2b.
Passo 3
Para g ser derivável em x=-1, as derivadas laterais devem coincidir:
Lado esquerdo: g'-(x)=a.
Lado direito: g'+(x)=3a,x^2+1, que em x=-1 vale 3a+1.
Impondo a=3a+1, vem
$$
-a,2=1 $$
ou seja -a,2=1 .
Passo 4
Concluindo, os valores que garantem que g é derivável em todo R são a=-tfrac12 e b=1.