O valor das constantes reais a e b para as quais a função real g(x)=llla x+b & se & x <=-1 a x^3+x+2 b & se & x>-1 seja derivável para todo x é: a=1 / 2 e b=1

Passo 1

Temos a função definida por partes:
$$
g(x)= g(x)= a,x+b,&x<= -1, a,x^3+x+2b,&x>-1 $$
O objetivo é encontrar os valores de a e b para que g seja derivável em todo real. Vamos usar as condições de continuidade e de derivabilidade em x=-1.

Passo 2

Para g ser contínua em x=-1, precisamos ter:
$$
\lim_{x\to -1^-}g(x)=\lim_{x\to -1^+}g(x). limxto -1^-g(x)=limxto -1^+g(x)
-a+b=-a-1+2b $$
Cancelando -a+b de ambos os lados, obtemos -a-1+2b.

Passo 3

Para g ser derivável em x=-1, as derivadas laterais devem coincidir:
Lado esquerdo: g'-(x)=a.
Lado direito: g'+(x)=3a,x^2+1, que em x=-1 vale 3a+1.
Impondo a=3a+1, vem
$$
-a,2=1 $$
ou seja -a,2=1 .

Passo 4

Concluindo, os valores que garantem que g é derivável em todo R são a=-tfrac12 e b=1.

Resposta

Os valores são a=-tfrac12 e b=1.

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