Seja f(x)=llx^10 / 5 sen(110 x) & se x neq 0 0 & se x=0
Quanto vale f^prime(0) ?
Observe que você precisa utilizar a definição de derivada para calcular f^prime(0). Isto é, você precisa calcular lim h 0 f(0+h)-f(0)h=lim x 0 f(x)-f(0)x-0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta quanto vale a derivada de f(x) = x^2 cdot sin(110x) & se x neq 0 0 & se x = 0 em , ou seja, . A função dada é:
Vamos utilizar a definição de derivada para encontrar .

Passo 2

A definição de derivada de f'(a) = limh to 0 f(a+h) - f(a)h em f'(0) = limh to 0 f(0+h) - f(0)h = limh to 0 f(h) - f(0)h é:
No nosso caso, queremos , então substituímos por :

Passo 3

Sabemos que f'(0) = limh to 0 f(h)h , então a expressão fica:
f'(0) = limh to 0 h^2 cdot sin(110h)h = limh to 0 h cdot sin(110h)
Para , , então substituímos:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite -1 <= sin(110h) <= 1 . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
-|h| <= h cdot sin(110h) <= |h|
Multiplicando todos os termos por , que é sempre positivo:

Passo 5

Aplicamos o Teorema do Sanduíche, que diz que se limh to 0 -|h| = 0 e limh to 0 |h| = 0 e os limites de limh to 0 h cdot sin(110h) = 0 e são iguais quando tende a um ponto, então o limite de também é esse valor. Aqui:
Portanto:

Resposta

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