Sejam
definida por
e
. Mostre que
é limitado. Em seguida, calcule o supremo e o ínfimo de
.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que o conjunto A dos valores de f(x)=
é limitado e depois determinar o supremo e o ínfimo de A. O conteúdo principal envolve noções de função real, conjunto imagem, e conceitos de limite, máxima e mínima (supremo/ínfimo).
Passo 2
Vamos investigar os valores possíveis de
. Note que para todo
temos
, então
. Assim
Passo 3
Logo, todos os valores de
estão no intervalo
, o que mostra que A é limitado tanto acima por 1 quanto abaixo por 0.
Passo 4
O valor máximo de
ocorre em
, onde
. Já à medida que
, temos
e portanto
sem nunca atingir zero. Isso dá o supremo e o ínfimo de A.