Sejam f: R R definida por f(x)=1raiz1+x^2 e A=f(x): x in R. Mostre que A é limitado. Em seguida, calcule o supremo e o ínfimo de A.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que o conjunto A dos valores de f(x)= 1/raiz1+x^2 é limitado e depois determinar o supremo e o ínfimo de A. O conteúdo principal envolve noções de função real, conjunto imagem, e conceitos de limite, máxima e mínima (supremo/ínfimo).

Passo 2

Vamos investigar os valores possíveis de f(x)=1raiz1+x^2. Note que para todo xinR temos 1+x^2>=1, então raiz1+x^2>=1. Assim
0

Passo 3

Logo, todos os valores de f(x) estão no intervalo (0,1], o que mostra que A é limitado tanto acima por 1 quanto abaixo por 0.

Passo 4

O valor máximo de f(x) ocorre em x=0, onde f(0)=1. Já à medida que |x|toinfty, temos raiz1+x^2toinfty e portanto f(x)to0 sem nunca atingir zero. Isso dá o supremo e o ínfimo de A.

Resposta

sup A=1,;inf A=0

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