Mostre que as funções são invertíveis e obtenha suas inversas:
f:[-1, infty) Im(f), f(x)=-raizx+1

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
fcolon[-1,infty)toIm(f), f(x)=-raizx+1
é invertível e determinar f^-1. O conteúdo envolvido é a definição de função inversa, injetividade (monotonicidade) e cálculo algébrico para resolver y=f(x).

Passo 2

Mostramos que f é injetiva provando que é estritamente decrescente. Sejam x1<x2 em [-1,infty). Então
x1+1<x2+1 Longrightarrow raizx1+1<raizx2+1
e, multiplicando por -1,
-raizx1+1>-raizx2+1 Longrightarrow f(x1)>f(x2)
Logo, f é estritamente decrescente e, portanto, injetiva.

Passo 3

Determinamos Im(f). Em x=-1 vem
f(-1)=-raiz-1+1=0,
e, quando xto+infty, raizx+1to+infty implica f(x)to-infty. Como f é contínua e decrescente,
Im(f)=(-infty,0]
Assim f é sobrejetiva em Im(f).

Passo 4

Para achar a inversa, escrevemos y=f(x) e isolamos x:
y=-raizx+1 Longrightarrow -!y=raizx+1
Como raizx+1>=0, precisamos de -y>=0, isto é, y<=0, consistente com Im(f). Elevando ao quadrado:
(-y)^2 = x+1 Longrightarrow x=y^2-1

Passo 5

Portanto a função inversa f^-1colon(-infty,0]to[-1,infty) é dada por
f^-1(y)=y^2-1

Resposta

A função f é estritamente decrescente, logo invertível, e
f^-1(x)=x^2-1, xin(-infty,0]

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