Mostre que as funções são invertíveis e obtenha suas inversas:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
é invertível e determinar
. O conteúdo envolvido é a definição de função inversa, injetividade (monotonicidade) e cálculo algébrico para resolver
.
Passo 2
Mostramos que
é injetiva provando que é estritamente decrescente. Sejam
em
. Então
e, multiplicando por
,
Logo,
é estritamente decrescente e, portanto, injetiva.
Passo 3
Determinamos
. Em
vem
e, quando
,
implica
. Como
é contínua e decrescente,
Assim
é sobrejetiva em
.
Passo 4
Para achar a inversa, escrevemos
e isolamos
:
Como
, precisamos de
, isto é,
, consistente com
. Elevando ao quadrado:
Passo 5
Portanto a função inversa
é dada por
Resposta
A função
é estritamente decrescente, logo invertível, e