A função T(x,y) representa a temperatura em cada ponto de uma chapa metálica, Sendo T(x,y)=2x+2y, identifique as curvas de nível da função T(x,y):
(A) (x/2)+(y/2)=k/2
(B) 2x+2y=k/2
© 2x+2y=k
(D) x+y=k
(E) 2x+2y=2k

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma função que representa a temperatura em cada ponto de uma chapa metálica: $ T(x, y) = 2x + 2y $. O que precisamos fazer é identificar quais são as curvas de nível dessa função. As curvas de nível são aquelas onde a temperatura é constante, ou seja, $ T(x, y) = k $, onde $ k $ é uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Imagine um mapa topográfico onde cada linha representa um nível de altitude igual; aqui, em vez de altitude, a gente tem temperatura. Então, para encontrar as curvas de nível da função $ T(x, y) = 2x + 2y $, precisamos resolver a equação $ 2x + 2y = k $.

Passo 3

Vamos simplificar a equação $ 2x + 2y = k $ para facilitar a identificação das curvas. Podemos dividir todos os termos por 2:
2x + 2y = k
Isso simplifica para:
2x2 + 2y2 = k2

Passo 4

Agora, olhando as opções que temos, vamos ver qual delas corresponde à equação que achamos:
  • (A) x2 + y2 = k2
  • (B) 2x + 2y = k2
  • © 2x + 2y = k
  • (D) x + y = k
  • (E) 2x + 2y = 2k
Notamos que a nossa equação simplificada é $ x + y = \frac{k}{2} $, que é igual à opção (A).

Resposta

A) x2 + y2 = k2

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