Utilizando seus conhecimentos e o que foi discutido na Unidade 3 calcule a área contida em um laço de rosácea de quatro pétalas r= cos 20. Note que ≤0
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: temos que calcular a área de um laço de rosácea que tem quatro pétalas, representado pela equação polar $ r = \cos(2\theta) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e cálculo de áreas de curvas polarizadas, que foram discutidos na Unidade 3.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A fórmula geral para a área $ A $ de uma região delimitada por uma curva polar $ r(\theta) $ é:
Isso significa que vamos integrar o quadrado da função $ r $ em relação a $ \theta $ entre dois limites específicos.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração para uma única pétala da rosácea. A equação dada é $ r = \cos(2\theta) $. Uma pétala se forma quando $ \cos(2\theta) $ é não negativa, ou seja, quando:
Sabemos que $ \cos(2\theta) $ é positivo quando $ 2\theta $ está entre $ -\frac{\pi}{2} $ e $ \frac{\pi}{2} $. Portanto, dividindo por 2, os limites para $ \theta $ são de $ -\frac{\pi}{4} $ a $ \frac{\pi}{4} $.
Passo 4
Com os limites definidos, podemos escrever a integral para a área de uma pétala:
Vamos agora simplificar essa expressão para facilitar a integração.
Passo 5
Para simplificar $ \left( \cos(2\theta) \right)^2 $, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando essa identidade, temos:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Passo 7
Substituindo os limites na expressão:
Sabemos que $ \sin(\pi) = 0 $ e $ \sin(-\pi) = 0 $, então:
Passo 8
Como a rosácea tem quatro pétalas, a área total é quatro vezes a área de uma pétala:
Resposta
A área contida no laço de rosácea de quatro pétalas é igual a
.