Utilizando seus conhecimentos e o que foi discutido na Unidade 3 calcule a área contida em um laço de rosácea de quatro pétalas r= cos 20. Note que ≤0 ​

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: temos que calcular a área de um laço de rosácea que tem quatro pétalas, representado pela equação polar $ r = \cos(2\theta) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e cálculo de áreas de curvas polarizadas, que foram discutidos na Unidade 3.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A fórmula geral para a área $ A $ de uma região delimitada por uma curva polar $ r(\theta) $ é:
A
Isso significa que vamos integrar o quadrado da função $ r $ em relação a $ \theta $ entre dois limites específicos.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para uma única pétala da rosácea. A equação dada é $ r = \cos(2\theta) $. Uma pétala se forma quando $ \cos(2\theta) $ é não negativa, ou seja, quando:
r = cos(2theta)
Sabemos que $ \cos(2\theta) $ é positivo quando $ 2\theta $ está entre $ -\frac{\pi}{2} $ e $ \frac{\pi}{2} $. Portanto, dividindo por 2, os limites para $ \theta $ são de $ -\frac{\pi}{4} $ a $ \frac{\pi}{4} $.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral para a área de uma pétala:
Apétala = 12 integral-pi4^pi4 ( cos(2theta) )^2 , dtheta é
Vamos agora simplificar essa expressão para facilitar a integração.

Passo 5

Para simplificar $ \left( \cos(2\theta) \right)^2 $, usamos a identidade trigonométrica:
( cos(2theta) )^2
Aplicando essa identidade, temos:
cos^2(x) = 1 + cos(2x)2
Substituindo na integral:
( cos(2theta) )^2 = 1 + cos(4theta)2 é

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 1 , dtheta = theta
integral cos(4theta) , dtheta = 14 sin(4theta)
Portanto:
Apétala = 14 [ theta + 14 sin(4theta) ]-pi4^pi4 é

Passo 7

Substituindo os limites na expressão:
Apétala = 14 [ ( pi4 - (-pi4) ) + 14 ( sin(pi) - sin(-pi) ) ] é
Sabemos que $ \sin(\pi) = 0 $ e $ \sin(-\pi) = 0 $, então:
sin(pi) = 0 é

Passo 8

Como a rosácea tem quatro pétalas, a área total é quatro vezes a área de uma pétala:
Atotal = 4 times pi8 = pi2

Resposta

A área contida no laço de rosácea de quatro pétalas é igual a dfracpi2.

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