Ao resolver o volume de um sólido de revolução em relação aos eixos e intersecções de curvas, é crucial escolher o método de resolução apropriado, levando em consideração as características específicas da região plana e do sólido gerado. Por exemplo, ao lidar com uma região limitada por curvas que se intersectam em múltiplos pontos, pode ser necessário encontrar tais pontos, para então dar continuidade no processo de cálculo. Sendo assim, determine entre as opções a seguir, o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y, limitado pelas curvas y = x², y = x – 2 e pelas retas y = 0 e y = 1:
A) V = 2π u.v.
B) V = 4π/3 u.v.
C) V = 12π/5 u.v.
D) V = 3π/2 u.v.
E) V = 35π/6 u.v.
A) V = 2π u.v.
B) V = 4π/3 u.v.
C) V = 12π/5 u.v.
D) V = 3π/2 u.v.
E) V = 35π/6 u.v.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região delimitada pelas curvas $ y = x^2 $, $ y = x - 2 $, e pelas retas $ y = 0 $ e $ y = 1 $ gira em torno do eixo y. Para resolver isso, vamos usar métodos de cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos discos ou das cascas cilíndricas. Primeiro, precisamos entender onde essas curvas se interceptam para definir os limites da nossa integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de intersecção entre as curvas $ y = x^2 $ e $ y = x - 2 $. Igualando as duas equações:
Resolvendo essa equação quadrática:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, essas curvas não se intersectam. Isso significa que vamos considerar os limites fornecidos pelas retas $ y = 0 $ e $ y = 1 $ para definir nossa região.
Passo 3
Vamos visualizar a região: entre $ y = 0 $ e $ y = 1 $, a curva $ y = x^2 $ está abaixo de $ y = x - 2 $ porque, para $ y = 1 $:
Então, nosso intervalo de integração em y vai de 0 a 1. Como vamos girar em torno do eixo y, o método dos discos é adequado aqui.
Passo 4
No método dos discos, o volume é calculado pela integral:
Onde $ R(y) $ é a função externa e $ r(y) $ a interna em termos de y.
Passo 5
Precisamos expressar x em função de y para ambas as curvas:
Para $ y = x^2 $:
Para $ y = x - 2 $:
Aqui, $ R(y) = y + 2 $ e $ r(y) = \sqrt{y} $.
Passo 6
Agora, substituindo na fórmula do volume:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 8
Calculando nos limites de 0 a 1:
Para y = 1:
Para y = 0:
Então:
Resposta
O volume do sólido gerado é $ \frac{35\pi}{6} , u.v. $, ou seja, a opção E.