Uma função f: F \rightarrow \mathbb{R}, definida num fechado F \subset \mathbb{R}, é contínua se, e somente se, para todo c \in \mathbb{R} os conjuntos X=\{x \in A: f(x) \leq c\} e Y=\{x \in A: f(x) \geq c\} são fechados.
Dica: Use os itens (c) e (d) do Exercício 11.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma função f\colon F\to\mathbb{R} com F\subset\mathbb{R} fechado, vale
f\text{ é contínua} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall c\in\mathbb{R}\;\; X_c=\{x\in F:f(x)\le c\}\text{ e } Y_c=\{x\in F:f(x)\ge c\} \text{ são fechados.}éíã
Vamos usar que, se f é contínua, então para todo c as pré-imagens f^{-1}((-\infty,c)) e f^{-1}((c,\infty)) são abertas em F (itens (c) e (d) do Exercício 11).

Passo 2

(“ \Rightarrow”) Suponha f contínua. Para cada c\in\mathbb{R} temos
\{x\in F:f(x)>c\}=f^{-1}((c,\infty)) \quad\text{e}\quad \{x\in F:f(x)<c\}=f^{-1}((-\infty,c))
são abertas em F. Então
X_c=\{f\le c\}=F\setminus\{f>c\} \quad\text{e}\quad Y_c=\{f\ge c\}=F\setminus\{f<c\}
são complementos de conjuntos abertos em F, logo são fechados em F. Como F é fechado em \mathbb{R}, X_c e Y_c também são fechados em \mathbb{R}.

Passo 3

(“ \Leftarrow”) Agora suponha que, para todo c, X_c e Y_c sejam fechados em F. Para provar que f é contínua no espaço F, basta ver que a pré-imagem de qualquer intervalo aberto (a,b) é aberta em F. Mas
f^{-1}((a,b)) =\{x\in F: a<f(x)<b\} =\{f>a\}\,\cap\,\{f<b\} =(F\setminus X_a)\cap(F\setminus Y_b),
onde X_a e Y_b são fechados em F por hipótese. Logo \{f>a\} e \{f<b\} são abertos em F e assim f^{-1}((a,b)) é aberto em F. Como os intervalos (a,b) formam base da topologia de \mathbb{R}, isso mostra que f é contínua em F.

Resposta

Mostramos as duas implicações, concluindo que f é contínua em F se, e somente se, para todo c\in\mathbb{R} os conjuntos
\{x\in F:f(x)\le c\} e \{x\in F:f(x)\ge c\} são fechados.

Exercícios relacionados