Uma função
, definida num fechado
, é contínua se, e somente se, para todo
os conjuntos
e
são fechados.
Dica: Use os itens (c) e (d) do Exercício 11.
Dica: Use os itens (c) e (d) do Exercício 11.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma função
com
fechado, vale
Vamos usar que, se
é contínua, então para todo
as pré-imagens
e
são abertas em
(itens (c) e (d) do Exercício 11).
Passo 2
(“
”) Suponha
contínua. Para cada
temos
são abertas em
. Então
são complementos de conjuntos abertos em
, logo são fechados em
. Como
é fechado em
,
e
também são fechados em
.
Passo 3
(“
”) Agora suponha que, para todo
,
e
sejam fechados em
. Para provar que
é contínua no espaço
, basta ver que a pré-imagem de qualquer intervalo aberto
é aberta em
. Mas
onde
e
são fechados em
por hipótese. Logo
e
são abertos em
e assim
é aberto em
. Como os intervalos
formam base da topologia de
, isso mostra que
é contínua em
.
Resposta
Mostramos as duas implicações, concluindo que
é contínua em
se, e somente se, para todo
os conjuntos
e
são fechados.