Uma função
, definida num aberto
, é contínua se, e somente se, para todo
os conjuntos
e
são abertos.
Dica: Use o itens (a) e (b) do Exercício 11 e, por exemplo, note que
.
Dica: Use o itens (a) e (b) do Exercício 11 e, por exemplo, note que
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dado
com
aberto em
, temos
O conteúdo usado será a definição topológica de continuidade (pré‐imagem de aberto é aberto) e os itens do Exercício 11:
(a)
(b) .
(a)
(b)
Passo 2
Mostramos primeiro que, se
é contínua em
, então para todo
os conjuntos
e
são abertos.
Pela definição topológica de continuidade, a pré‐imagem de qualquer conjunto aberto de
é aberta em
. Como
são abertos em
, tem‐se
são abertos em
.
Passo 3
Agora mostramos a recíproca: se para todo
os conjuntos
e
são abertos em
, então
é contínua.
Seja
um aberto qualquer. Como a família de intervalos abertos
gera a topologia usual em
, podemos escrever
Cada intervalo
se decompõe em
Pela hipótese, para todo
as pré‐imagens
são abertas em
. Então, pelo item (b) do Exercício 11,
é aberta em
. Finalmente, pelo item (a) do Exercício 11,
é união de abertos em
, logo é aberto. Como
foi aberto arbitrário,
é contínua em
.
Resposta
A equivalência está demonstrada:
é contínua em
se, e somente se, para todo
os conjuntos
são abertos em
.