Uma função f: A \rightarrow \mathbb{R}, definida num aberto A \subset \mathbb{R}, é contínua se, e somente se, para todo c \in \mathbb{R} os conjuntos X=\{x \in A: f(x)<c\} e Y=\{x \in A: f(x)>c\} são abertos.
Dica: Use o itens (a) e (b) do Exercício 11 e, por exemplo, note que X=f^{-1}((-\infty, c)).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dado f\colon A\to\mathbb{R} com A aberto em \mathbb{R}, temos
f\text{ é contínua em }A \quad\Longleftrightarrow\quad \text{para todo }c\in\mathbb{R}\text{ os conjuntos } X_c=\{x\in A:f(x)<c\} \text{ e } Y_c=\{x\in A:f(x)>c\} \text{ são abertos em }A.éíã
O conteúdo usado será a definição topológica de continuidade (pré‐imagem de aberto é aberto) e os itens do Exercício 11:
(a) f^{-1}(U\cup V)=f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)
(b) f^{-1}(U\cap V)=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V).

Passo 2

Mostramos primeiro que, se f é contínua em A, então para todo c os conjuntos X_c e Y_c são abertos.
Pela definição topológica de continuidade, a pré‐imagem de qualquer conjunto aberto de \mathbb{R} é aberta em A. Como
(-\infty,c)\quad\text{e}\quad(c,\infty)
são abertos em \mathbb{R}, tem‐se
X_c=f^{-1}\bigl((-\infty,c)\bigr) \quad\text{e}\quad Y_c=f^{-1}\bigl((c,\infty)\bigr)
são abertos em A.

Passo 3

Agora mostramos a recíproca: se para todo c os conjuntos X_c e Y_c são abertos em A, então f é contínua.
Seja U\subset\mathbb{R} um aberto qualquer. Como a família de intervalos abertos (a,b) gera a topologia usual em \mathbb{R}, podemos escrever
U=\bigcup_{i\in I}(a_i,b_i).
Cada intervalo (a_i,b_i) se decompõe em
(a_i,b_i)=(-\infty,b_i)\;\cap\;(a_i,\infty).
Pela hipótese, para todo i as pré‐imagens
f^{-1}((-\infty,b_i)) \quad\text{e}\quad f^{-1}((a_i,\infty))
são abertas em A. Então, pelo item (b) do Exercício 11,
f^{-1}((a_i,b_i)) =f^{-1}((-\infty,b_i))\;\cap\;f^{-1}((a_i,\infty))
é aberta em A. Finalmente, pelo item (a) do Exercício 11,
f^{-1}(U) =f^{-1}\Bigl(\bigcup_{i\in I}(a_i,b_i)\Bigr) =\bigcup_{i\in I}f^{-1}((a_i,b_i))
é união de abertos em A, logo é aberto. Como U foi aberto arbitrário, f é contínua em A.

Resposta

A equivalência está demonstrada: f é contínua em A se, e somente se, para todo c\in\mathbb{R} os conjuntos
\{x\in A : f(x)<c\} \quad\text{e}\quad \{x\in A : f(x)>c\}
são abertos em A.

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