Questão 3 - Resolva, analítica e graficamente, os sistemas de equações a seguir:
20 x-10 y=100 e x+y=80

Passo 1

O enunciado pede a solução analítica e gráfica do sistema de duas equações lineares em duas variáveis:
20x - 10y = 100
x + y = 80
Iremos usar eliminação/substituição para a parte analítica e, para a parte gráfica, reescrever cada equação no formato \;y = mx + b\; para traçar suas retas e identificar o ponto de interseção.

Passo 2

Vamos primeiro simplificar a primeira equação dividindo ambos os lados por 10:
20x - 10y = 100 \quad\Longrightarrow\quad 2x - y = 10.
Agora isolamos y:
-y = 10 - 2x \quad\Longrightarrow\quad y = 2x - 10.
Substituímos esse y na segunda equação x + y = 80:
x + (2x - 10) = 80 \quad\Longrightarrow\quad 3x - 10 = 80 \quad\Longrightarrow\quad 3x = 90 \quad\Longrightarrow\quad x = 30.
Em seguida,
y = 2\cdot 30 - 10 = 60 - 10 = 50.

Passo 3

Para a solução gráfica, reescrevemos as duas equações como retas no plano xy:
  1. Da primeira equação já obtivemos
    y = 2x - 10,
    que é uma reta de inclinação 2 e coeficiente linear -10. Dois pontos convenientes são:
    \text{se }x=0,\;y=-10; \quad \text{se }y=0,\;0 = 2x - 10\;\Longrightarrow\;x=5.
  2. A segunda equação dá
    x + y = 80 \quad\Longrightarrow\quad y = -x + 80,
    reta de inclinação -1 e coeficiente linear 80. Dois pontos são:
    \text{se }x=0,\;y=80; \quad \text{se }y=0,\;0 = -x + 80\;\Longrightarrow\;x=80.
Ao traçar essas duas retas no mesmo sistema de coordenadas, o ponto de interseção ocorre em (30,50), que coincide com o resultado analítico.

Resposta

x = 30,\; y = 50

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