Uma função w=f(x, y) com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace
partial^2 wpartial x^2+partial^2 wpartial y^2=0
é chamada harmônica. Analogamente, uma função w=f(x, y, z) com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace
partial^2 wpartial x^2+partial^2 wpartial y^2+partial^2 wpartial z^2=0
é chamada harmônica. Quais das funções abaixo são harmônicas?
f(x, y)=x^3-3 x y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x,y)=x^3-3xy^2 é harmônica, isto é, se satisfaz a equação de Laplace fxx+fyy=0.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
fx=partialpartial x(x^3-3xy^2)=3x^2-3y^2,
fy=partialpartial y(x^3-3xy^2)=-6xy
Em seguida, as derivadas de segunda ordem:
fxx=partialpartial x(3x^2-3y^2)=6x,
fyy=partialpartial y(-6xy)=-6x
Somando-as:
fxx+fyy=6x+(-6x)=0
Como resulta zero, a equação de Laplace é satisfeita.

Resposta

A função f(x,y)=x^3-3xy^2 é harmônica, pois fxx+fyy=0.

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