Seja

Se f(x, y)= x y(x^2-y^2) /(x^2+y^2) & ,(x, y) neq(0,0) 0 & ,(x, y)=(0,0) calcule f(x, y) neq(0,0) e partial fpartial x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=x y (x^2 - y^2)x^2 + y^2\nquando (x,y)neq(0,0). O conteúdo é derivada de funções de duas variáveis, e vamos usar a regra do quociente combinado com derivada de produto.

Passo 2

Definimos o numerador e denominador:
N(x,y)=x y (x^2 - y^2)=x^3y - xy^3,
D(x,y)=x^2 + y^2
Para usar a regra do quociente, precisamos de Nx e Dx:
Nx=partialpartial x(x^3y - xy^3)=3x^2y - y^3,
Dx=partialpartial x(x^2 + y^2)=2x

Passo 3

Aplicando a regra do quociente para fx:
partial fpartial x=Nx D - N DxD^2 =(3x^2y - y^3)(x^2+y^2) - (x^3y - xy^3)2x(x^2+y^2)^2
Ao expandir e simplificar o numerador, obtemos
x^4y +4x^2y^3 - y^5
Logo,
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{y\bigl(x^4 +4x2y2 -y4\bigr)}{(x2+y2)2}.
$$

Passo 4

Agora para fy, calculamos Ny e Dy:
Ny=partialpartial y(x^3y - xy^3)=x^3 -3xy^2,
Dy=partialpartial y(x^2 + y^2)=2y
Aplicando a regra do quociente:
$$
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{N_y D - N D_y}{D^2}
=\frac{(x^3 -3xy2)(x2+y^2) - (x^3y - xy3)2y}{(x2+y2)2}.
partial fpartial y=Ny D - N DyD^2 =(x^3 -3xy^2)(x^2+y^2) - (x^3y - xy^3)2y(x^2+y^2)^2 óx^5 -4x3y2 - xy^4$$
Portanto,
x^5 -4x^3y^2 - xy^4

Resposta

partial fpartial x(x,y)=yl(x^4 +4x^2y^2 -y^4r)(x^2+y^2)^2
partial fpartial y(x,y)=xl(x^4 -4x^2y^2 -y^4r)(x^2+y^2)^2

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