Uma função w=f(x, y) com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace
partial^2 wpartial x^2+partial^2 wpartial y^2=0
é chamada harmônica. Analogamente, uma função w=f(x, y, z) com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace
partial^2 wpartial x^2+partial^2 wpartial y^2+partial^2 wpartial z^2=0
é chamada harmônica. Quais das funções abaixo são harmônicas?
f(x, y)=e^x sen(y)+e^y cos (y)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=e^x
sen(y)+e^y
cos(y) e pede para verificar se ela é harmônica, ou seja, se satisfaz a equação de Laplace ∂^2f/∂x^2+∂^2f/∂y^2=0. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem e somá-las.

Passo 2

Calculamos as derivadas em relação a x:
∂f∂x=e^xsin y,
∂^2f∂x^2=e^xsin y

Passo 3

Calculamos as derivadas em relação a y:
∂f∂y=e^xcos y+ddy(e^ycos y)=e^xcos y+e^y(cos y-sin y),
∂^2f∂y^2=ddyl[e^xcos y+e^y(cos y-sin y)r]=-e^xsin y-2e^ysin y

Passo 4

Somamos as derivadas de segunda ordem:
∂^2f∂x^2+∂^2f∂y^2=e^xsin y+(-e^xsin y-2e^ysin y)=-2e^ysin y
Como essa soma não é zero para todo (x,y), o laplaciano não se anula.

Passo 5

Portanto, a função não satisfaz a Equação de Laplace e não é harmônica.

Resposta

A função não é harmônica, pois seu laplaciano é -2 e^ysin yneq0.

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