Uma função
com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace
é chamada harmônica. Analogamente, uma função
com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace
é chamada harmônica. Quais das funções abaixo são harmônicas?
é chamada harmônica. Analogamente, uma função
é chamada harmônica. Quais das funções abaixo são harmônicas?
Passo 1
O enunciado nos dá a função f(x,y)=e^x
sen(y)+e^y
cos(y) e pede para verificar se ela é harmônica, ou seja, se satisfaz a equação de Laplace . Vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem e somá-las.
sen(y)+e^y
cos(y) e pede para verificar se ela é harmônica, ou seja, se satisfaz a equação de Laplace
Passo 2
Calculamos as derivadas em relação a x:
Passo 3
Calculamos as derivadas em relação a y:
Passo 4
Somamos as derivadas de segunda ordem:
Como essa soma não é zero para todo (x,y), o laplaciano não se anula.
Passo 5
Portanto, a função não satisfaz a Equação de Laplace e não é harmônica.
Resposta
A função não é harmônica, pois seu laplaciano é
.