Suponha que partial fpartial u(1,2)=-5 e partial fpartial v(1,2)=10, onde u=(34,-45) e v=(45,-35). Determine:
a derivada direcional de f em (1,2) na direção e sentido da origem.

Passo 1

O enunciado diz que conhecemos as derivadas parciais de uma função f(x,y) em relação a dois vetores u e v no ponto (1,2):
fx
e
fy
sendo

e

O conteúdo principal aqui é derivada direcional e gradiente, e vamos precisar usar a relação

para dois vetores que nos dão equações para e .

Passo 2

Aplicamos o produto escalar para escrever as equações que ligam fx e fy a essas derivadas em u e v. Assim:
partial fpartial u = nabla f cdot u = 34fx - 45fy = -5,
partial fpartial v = nabla f cdot v = 45fx - 35fy = 10
Aqui usamos que nabla f = (fx,fy) e a definição de derivada direcional como produto escalar.

Passo 3

Agora resolvemos o sistema
34fx - 45fy = -5, 45fx - 35fy = 10
Multiplicando a primeira por 20 e a segunda por 5 para eliminar denominadores, obtemos
15fx - 16fy = -100, 4fx - 3fy = 50
Resolvendo esse sistema (por exemplo eliminando fx), chegamos a
fx = 110019, fy = 115019

Passo 4

Em seguida, o vetor que aponta de (1,2) para a origem é
w = d| d| = (-1,-2)raiz1^2+2^2 = (-1,-2)raiz5
Para usar na derivada direcional, precisamos da versão unitária:

Passo 5

Por fim, a derivada direcional de f na direção de w é
D wf(1,2) = nabla f(1,2) cdot w = l(110019,115019r)cdot (-1,-2)raiz5 = -340019raiz5 = -680raiz519

Resposta

-\dfrac{680\sqrt5}{19}

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