Suponha que
e
, onde
e
. Determine:
a derivada direcional de f em
na direção e sentido da origem.
a derivada direcional de f em
Passo 1
O enunciado diz que conhecemos as derivadas parciais de uma função
em relação a dois vetores
e
no ponto
:
e
sendo
e
O conteúdo principal aqui é derivada direcional e gradiente, e vamos precisar usar a relação
para dois vetores que nos dão equações para e
.
e
sendo
e
O conteúdo principal aqui é derivada direcional e gradiente, e vamos precisar usar a relação
para dois vetores que nos dão equações para
Passo 2
Aplicamos o produto escalar para escrever as equações que ligam
e
a essas derivadas em
e
. Assim:
Aqui usamos que
e a definição de derivada direcional como produto escalar.
Passo 3
Agora resolvemos o sistema
Multiplicando a primeira por 20 e a segunda por 5 para eliminar denominadores, obtemos
Resolvendo esse sistema (por exemplo eliminando
), chegamos a
Passo 4
Em seguida, o vetor que aponta de
para a origem é
Para usar na derivada direcional, precisamos da versão unitária:
Para usar na derivada direcional, precisamos da versão unitária:
Passo 5
Por fim, a derivada direcional de
na direção de
é
Resposta
-\dfrac{680\sqrt5}{19}