A função de segundo grau, também chamada de função quadrática ou função polinomial do 2^circ grau, é escrita como: f(x)=a x^2+b x+c. Sendo os coeficientes a, b e c números reais e a diferente de zero. Considerando a função quadrática
f(x)=-x^2+7 x-12
determine:
(b) o ponto (ponto de máximo) para o qual f(x) assume seu valor máximo;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática, que é uma função do segundo grau, escrita como $ f(x) = -x^{2} + 7x - 12 $. O que a gente quer descobrir aqui é o ponto de máximo dessa função, ou seja, o ponto onde a função atinge o seu valor mais alto. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas, especificamente sobre o vértice da parábola que representa a função.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que a função quadrática $ f(x) = ax^{2} + bx + c $ forma uma parábola quando a gente a desenha no gráfico. O coeficiente $ a $ determina se a parábola abre para cima (quando $ a > 0 $) ou para baixo (quando $ a < 0 $). No nosso caso, $ a = -1 $, então a parábola abre para baixo, o que significa que ela tem um ponto de máximo.

Passo 3

O ponto de máximo da parábola é o vértice dela. Para encontrar as coordenadas desse vértice, usamos as fórmulas:
xv = -b2a
yv = f(xv)
Onde $ x_v $ é a coordenada x do vértice e $ y_v $ é a coordenada y.

Passo 4

Vamos calcular $ x_v $ usando a primeira fórmula. Na nossa função, $ a = -1 $ e $ b = 7 $. Substituindo esses valores na fórmula:
xv
Então, a coordenada x do ponto de máximo é 3,5.

Passo 5

Agora, vamos encontrar $ y_v $, que é o valor máximo da função. Para isso, substituímos $ x_v = 3,5 $ na função original:
yv
xv = 3,5
f(3,5) = - (3,5)^2 + 7 times 3,5 - 12

Resposta

O ponto de máximo da função $ f(x) = -x^{2} + 7x - 12 $ é $ (3,5,\ 0,25) $.

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