A função de segundo grau, também chamada de função quadrática ou função polinomial do
grau, é escrita como:
. Sendo os coeficientes
e
números reais e
diferente de zero. Considerando a função quadrática
determine:
(b) o ponto (ponto de máximo) para o qual
assume seu valor máximo;
(b) o ponto (ponto de máximo) para o qual
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática, que é uma função do segundo grau, escrita como $ f(x) = -x^{2} + 7x - 12 $. O que a gente quer descobrir aqui é o ponto de máximo dessa função, ou seja, o ponto onde a função atinge o seu valor mais alto. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas, especificamente sobre o vértice da parábola que representa a função.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que a função quadrática $ f(x) = ax^{2} + bx + c $ forma uma parábola quando a gente a desenha no gráfico. O coeficiente $ a $ determina se a parábola abre para cima (quando $ a > 0 $) ou para baixo (quando $ a < 0 $). No nosso caso, $ a = -1 $, então a parábola abre para baixo, o que significa que ela tem um ponto de máximo.
Passo 3
O ponto de máximo da parábola é o vértice dela. Para encontrar as coordenadas desse vértice, usamos as fórmulas:
Onde $ x_v $ é a coordenada x do vértice e $ y_v $ é a coordenada y.
Passo 4
Vamos calcular $ x_v $ usando a primeira fórmula. Na nossa função, $ a = -1 $ e $ b = 7 $. Substituindo esses valores na fórmula:
Então, a coordenada x do ponto de máximo é 3,5.
Passo 5
Agora, vamos encontrar $ y_v $, que é o valor máximo da função. Para isso, substituímos $ x_v = 3,5 $ na função original:
Resposta
O ponto de máximo da função $ f(x) = -x^{2} + 7x - 12 $ é $ (3,5,\ 0,25) $.