Se lim x 4 f(x)+2=0 e 4 x-18 <= raiz[3]4 m-n f(x) <= x^2-4 x-2, forall x>0 É possível concluir que:
m+2 n+4=0

Passo 1

O enunciado dá que limxto4f(x)+2=0, ou seja, limxto4f(x)=-2, e impõe a desigualdade
4x - 18 <= raiz[3]4m - n f(x) <= x^2 - 4x - 2,
para todo x>0. Vamos usar limites, o Teorema do Confronto e a monotonia da raiz cúbica para relacionar m e n.

Passo 2

Calcular o limite das funções de contorno quando xto4. Para a parte esquerda:
limxto4(4x-18)=4cdot4-18=16-18=-2
Para a parte direita:
limxto4(x^2-4x-2)=16-16-2=-2

Passo 3

Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem), como ambas as funções de contorno tendem a -2 e
4x-18 <= raiz[3]4m - n f(x) <= x^2 - 4x - 2,
segue que
limxto4raiz[3]4m - n f(x) = -2

Passo 4

Usamos o fato de que a função g(y)=raiz[3]y é contínua em todo R, então podemos trocar limite e raiz cúbica:
limxto4(4m - n f(x)) = l(-2r)^3 = -8

Passo 5

Como limxto4f(x)=-2, substituímos no limite obtido:
4m - n(-2) = 4m + 2n = -8
que simplifica para
2m + n + 4 = 0

Passo 6

Portanto não se obtém m + 2n + 4 = 0. A relação correta entre m e n é
2m + n + 4 = 0

Resposta

Não. A relação correta é 2m + n + 4 = 0.

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