Se lim x 4 f(x)+2=0 e 4 x-18 <= raiz[3]4 m-n f(x) <= x^2-4 x-2, forall x>0 É possível concluir que:
2 m+n+4=0

Passo 1

O enunciado dá a condição de limite limx to 4 l(f(x)+2r)=0, o que implica que f(x)to -2 quando xto4, e fornece para todo x>0 a desigualdade
4x - 18 <= raiz[3]4m - n f(x) <= x^2 - 4x - 2
Vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) aplicado à raiz cúbica e a propriedade de limites de funções compostas para encontrar uma relação entre m e n.

Passo 2

Quando xto4, calculamos os limites das funções nas extremidades:
limxto4(4x - 18) = 4cdot4 - 18 = -2,
limxto4(x^2 - 4x - 2) = 4^2 - 4cdot4 - 2 = 16 - 16 - 2 = -2
Portanto, ambas as funções-limite tendem a -2.

Passo 3

Pelo Teorema do Confronto, a função intermediária também tem limite -2:
limxto4 raiz[3]4m - n f(x) = -2
Como a função raiz cúbica é contínua, isso equivale a:
raiz[3]limxto4l(4m - n f(x)r) = -2

Passo 4

Sabendo que f(x)to -2 quando xto4, temos
limxto4l(4m - n f(x)r) = 4m - n,(-2) = 4m + 2n
Logo,
raiz[3]4m + 2n = -2

Passo 5

Elevando ambos os lados ao cubo, obtemos
4m + 2n = (-2)^3 = -8
e dividindo por 2:
2m + n = -4
que pode ser reescrito como 2m + n + 4 = 0.

Resposta

2m + n + 4 = 0

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