Para a função
f(x)=sen(pi(x^2+1))cos (pi x)+3
determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,0).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
f(x)=sinl(pi(x^2+1)r)cos(pi x)+3
no ponto (1,0). Vamos usar derivada e a fórmula da reta tangente:
y - f(x0)=f'(x0)(x-x0). Precisamos de f(1) e f'(1).

Passo 2

Primeiro calculamos f(1):
f(1)=sinl(pi(1^2+1)r)cos(picdot1)+3=sin(2pi)cospi+3=0-1+3=0

Passo 3

Para achar f'(x) usamos a regra do quociente: se g(x)=sinl(pi(x^2+1)r) e h(x)=cos(pi x)+3, então
f'(x)=g'(x)h(x)-g(x)h'(x)[h(x)]^2

Passo 4

Calculamos as derivadas auxiliares:
g'(x)=ddxsinl(pi(x^2+1)r)=cosl(pi(x^2+1)r)cdot(2pi x)=2pi xcosl(pi(x^2+1)r),
$$h’(x)=\frac{d}{dx}[\cos(\pi x)+3]=-\sin(\pi x)\cdot\pi=-\pi\sin(\pi x).
$$

Passo 5

No ponto x=1 temos g(1)=0, h(1)=cospi+3=2. Logo a fórmula do quociente simplifica-se para
f'(1)=g'(1),h(1)[h(1)]^2=g'(1)h(1)
E
g'(1)=2picdot1cdotcos(2pi)=2picdot1=2pi,
portanto
f'(1)=2pi2=pi

Passo 6

Agora montamos a reta tangente em (1,0) com coeficiente angular m=pi:
y-0=pi(x-1)
ou seja
y=pi(x-1)

Resposta

y=pi(x-1)

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