Calcule o limite:
lim x 0 senh(x)-xcos (x)+x

Passo 1

A questão pede para calcular limxto 0sinh(x)-xcos(x)+x. O conteúdo principal aqui são as séries de Taylor em torno de zero para sinh(x) e cos(x), já que ambas são funções analíticas e facilitam achar limites indeterminados.

Passo 2

Vamos escrever as expansões de Taylor até a ordem necessária:
sinh(x)=x+x^36+O(x^5), cos(x)=1-x^22+O(x^4)

Passo 3

Com essas expansões, o numerador e o denominador ficam:
sinh(x)-x=l(x+x^36+O(x^5)r)-x=x^36+O(x^5),

Passo 4

cos(x)+x=l(1-x^22+O(x^4)r)+x=1+x-x^22+O(x^4)

Passo 5

Agora montamos o quociente:
sinh(x)-xcos(x)+x=x^36+O(x^5)1+x-x^22+O(x^4)

Passo 6

Como xto0, o denominador tende a 1 e o numerador é da ordem x^3. Portanto o limite é 0.

Resposta

0

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