Indique os valores de máximo e mínimos absolutos de
f(x)=ln (2 x^3+3 x^2-12 x+200)
no intervalo [-3,3].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos de f(x)=lnl(2x^3+3x^2-12x+200r) no intervalo [-3,3]. O conteúdo principal é usar o teste de derivada (derivada zero + pontos de fronteira) para funções compostas com logaritmo.

Passo 2

Definimos primeiro g(x)=2x^3+3x^2-12x+200, de forma que f(x)=ln(g(x)). A derivada de f é dada por f'(x)=g'(x)g(x). Calculamos g'(x)=6x^2+6x-12=6(x+2)(x-1), logo os pontos críticos são as raízes de g'(x)=0, ou seja x=-2 e x=1, ambos no intervalo.

Passo 3

Agora avaliamos f nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo. Primeiro calculamos g em cada ponto:
g(-3)=2(-3)^3+3(-3)^2-12(-3)+200=209,
g(-2)=2(-2)^3+3(-2)^2-12(-2)+200=220,
g(1)=2(1)^3+3(1)^2-12(1)+200=193,
g(3)=2(3)^3+3(3)^2-12(3)+200=245.

Passo 4

Portanto as avaliações de f são f(-3)=ln(209), f(-2)=ln(220), f(1)=ln(193) e f(3)=ln(245).

Passo 5

Comparando esses valores, o menor é ln(193) em x=1 e o maior é ln(245) em x=3.

Resposta

Mínimo absoluto em x=1 com valor f(1)=ln(193). Máximo absoluto em x=3 com valor f(3)=ln(245).

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