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Introduçio 71
onde tanh representa a tangente hiperbólica. Os valores limites desta segunda função sigmóide são . Mostre que a derivada de em relação a é dada por
Qual é o valor desta derivada na origem? Suponha que o parâmetro de inclinaçço seja infinitamente grande. Qual ê a forma resultante de ?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma função sigmoide “ímpar”
e quer mostrar que
Depois pedem o valor dessa derivada em e, por fim, imagina : qual fica a forma de ?
Conteúdo envolvido: derivada de função composta (cadeia) e a identidade .
Passo 2
Vamos calcular .
Escreve com .
Pela regra da cadeia:
Sabemos que
e .
Substituindo:
Mas , então
Passo 3
Agora, na origem :
Logo
Passo 4
Por fim, se varphi(v);xrightarrow[atoinfty]; +1,&v>0, 0,&v=0, -1,&v<0 , temos .
Quando cresce muito:
Para , o argumento , logo .
Para , o argumento , logo .
Em , fica .
Então a função vira uma espécie de “função de sinal” (“hard limit”):