1.2 Uma funçąo sigmóide impar é definida por
varphi(v) & =1-exp (-a v)1+exp (-a v) & =tanh (a v2)
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Introduçio 71
onde tanh representa a tangente hiperbólica. Os valores limites desta segunda função sigmóide são -1 e+1. Mostre que a derivada de varphi(v) em relação a v é dada por
d varphid v=a2[1-varphi^2(v)]
Qual é o valor desta derivada na origem? Suponha que o parâmetro de inclinaçço a seja infinitamente grande. Qual ê a forma resultante de varphi(v) ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma função sigmoide “ímpar”
varphi(v)=1-e^-av1+e^-av=tanh!l(av2r)
e quer mostrar que
dvarphidv=a2l[1-varphi^2(v)r]
Depois pedem o valor dessa derivada em e, por fim, imagina : qual fica a forma de ?
Conteúdo envolvido: derivada de função composta (cadeia) e a identidade
.

Passo 2

Vamos calcular dvarphidv =ddul(tanh ur),dudv .
  1. Escreve dvarphidv =l(1-tanh^2(u)r),a2 =a2l[1-l(tanh(u)r)^2r] com boxeddvarphidv=a2l[1-varphi^2(v)r] .
  2. Pela regra da cadeia:
  1. Sabemos que

    e
    .
  2. Substituindo:
Mas , então

Passo 3

Agora, na origem dvarphidv|v=0 =a2l[1-0^2r] =a2 :

Logo

Passo 4

Por fim, se varphi(v);xrightarrow[atoinfty]; +1,&v>0, 0,&v=0, -1,&v<0 , temos .
Quando cresce muito:
  • Para , o argumento , logo .
  • Para , o argumento , logo .
  • Em , fica .
    Então a função vira uma espécie de “função de sinal” (“hard limit”):

Resposta

  1. .
  2. Na origem: .
  3. Para , vira a função sinal: se , se (e zero em ).

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