Calcule os seguintes limites usando o Teorema da (g) lim x 2 raiz[3]x-1-1raizx-raiz2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente aplicando o Teorema de L’Hôpital para resolver limites que dão uma forma indeterminada. Para resolver, vamos precisar derivar o numerador e o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir raiz[3]2-1-1raiz2-raiz2 = raiz[3]1-10 = 1-10 = 00 diretamente na expressão para ver se obtemos uma forma indeterminada:
Como deu , precisamos aplicar o Teorema de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a ddx ( raiz[3]x-1 ) = 13(x-1)^-23 .
  • Derivada do numerador ddx ( raizx ) = 12x^-12 :
  • Derivada do denominador :

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema de L’Hôpital substituindo as derivadas:
lim x 2 13(x-1)^-2312x^-12 = lim x 2 23 cdot x^12(x-1)^23

Passo 5

Substituímos 23 cdot 2^12(2-1)^23 = 23 cdot raiz21^23 = 23 cdot raiz2 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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