em função do tempo para uma dada partícula seja:
. Escreva cada uma das grandezas abaixo, em função do tempo.
(d) O módulo da componente da aceleração que é perpendicular à velocidade.
(d) O módulo da componente da aceleração que é perpendicular à velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a posição de uma partícula em função do tempo:
.
A questão pede para encontrar o módulo da componente da aceleração que é perpendicular à velocidade. Para isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade e a aceleração a partir da posição, além de decompor a aceleração nas direções paralela e perpendicular à velocidade.
A questão pede para encontrar o módulo da componente da aceleração que é perpendicular à velocidade. Para isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade e a aceleração a partir da posição, além de decompor a aceleração nas direções paralela e perpendicular à velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade
derivando a posição
em relação ao tempo
. A derivada de
nos dá:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração
, que é a derivada da velocidade
em relação ao tempo:
Então, a aceleração é constante na direção
.
Passo 4
Para encontrar a componente da aceleração que é perpendicular à velocidade, precisamos decompor
em duas partes: uma paralela à velocidade
e outra perpendicular a ela. A componente perpendicular pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
onde
é a componente de
na direção de
.
Passo 5
Primeiro, encontramos
usando o produto escalar:
Calculando
:
Calculando
:
Então,
Passo 6
Agora, calculamos
:
Passo 7
Para encontrar o módulo de
, usamos a fórmula da magnitude do vetor:
Simplificando,
Resposta
A magnitude da componente da aceleração perpendicular à velocidade em função do tempo é: