em função do tempo para uma dada partícula seja: r=(3 m / s) t i+(1 m / s^2) t^2 j. Escreva cada uma das grandezas abaixo, em função do tempo.
(d) O módulo da componente da aceleração que é perpendicular à velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a posição de uma partícula em função do tempo:
r = (3 , m/s) , t , i + (1 , m/s^2) t^2 , j.
A questão pede para encontrar o módulo da componente da aceleração que é perpendicular à velocidade. Para isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade e a aceleração a partir da posição, além de decompor a aceleração nas direções paralela e perpendicular à velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade v derivando a posição r em relação ao tempo t. A derivada de r nos dá:
v = drdt = ddt[(3 , m/s) , t , i + (1 , m/s^2) t^2 , j] = (3 , m/s) , i + (2 , m/s^2) , t , j.

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração a, que é a derivada da velocidade v em relação ao tempo:
a = dvdt = ddt[(3 , m/s) , i + (2 , m/s^2) , t , j] = 0 , i + (2 , m/s^2) , j.
Então, a aceleração é constante na direção j.

Passo 4

Para encontrar a componente da aceleração que é perpendicular à velocidade, precisamos decompor a em duas partes: uma paralela à velocidade v e outra perpendicular a ela. A componente perpendicular pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
aperp = a - aparal<=l,
onde aparal<=l é a componente de a na direção de v.

Passo 5

Primeiro, encontramos aparal<=l usando o produto escalar:
aparal<=l = ( a cdot vv cdot v ) v.
Calculando a cdot v:
a cdot v = (0)(3) + (2)(2t) = 4t.
Calculando v cdot v:
v cdot v = (3)^2 + (2t)^2 = 9 + 4t^2.
Então,
aparal<=l = ( 4t9 + 4t^2 ) v = ( 4t9 + 4t^2 ) (3 , i + 2t , j).

Passo 6

Agora, calculamos aperp:
aperp = a - aparal<=l = (0 , i + 2 , j) - ( 12t9 + 4t^2 , i + 8t^29 + 4t^2 , j ) = -12t9 + 4t^2 , i + (2 - 8t^29 + 4t^2) , j.

Passo 7

Para encontrar o módulo de aperp, usamos a fórmula da magnitude do vetor:
|aperp| = raiz(-12t9 + 4t^2)^2 + (2 - 8t^29 + 4t^2)^2.
Simplificando,
|aperp| = raiz144t^2(9 + 4t^2)^2 + (18 + 8t^2)^2(9 + 4t^2)^2 = raiz144t^2 + 324 + 288t^2 + 64t^4(9 + 4t^2)^2.
|aperp| = raiz64t^4 + 432t^2 + 324(9 + 4t^2)^2 = raiz64t^4 + 432t^2 + 3249 + 4t^2.

Resposta

A magnitude da componente da aceleração perpendicular à velocidade em função do tempo é:
|aperp| = dfracraiz64t^4 + 432t^2 + 3249 + 4t^2 , m/s^2.

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