A função de transferência de malha aberta de um sistema com realimentação unitária representando um processo químico é dado por:
Determine o valor de
para que a margem de fase seja igual a
. Qual será o módulo máximo da resposta em frequiência de malha fechada para este valor de
?
Passo 1
Beleza, então o enunciado é o seguinte: temos a função de transferência de malha aberta com realimentação unitária
e a gente quer:
1) ajustar o ganho
2) descobrir o pico máximo da resposta em frequência de malha fechada para esse
O conteúdo aqui é Análise em Frequência (Bode): a definição de margem de fase, como achar a frequência de cruzamento de ganho (onde
), resolver uma equação de fase que inclui atraso e, por fim, usar a relação típica entre margem de fase e pico de malha fechada.
Passo 2
Primeiro, lembra do que é margem de fase (PM): é quanto a curva de fase em Bode está acima de
no ponto onde o módulo cruza 0 dB. Matematicamente:
Então a gente impõe
Agora, a fase total de
é a soma de
1) fase do denominador sem atraso:
- fase do atraso:
Logo a condição de fase vira
Passo 3
Rearranjando, dá
A gente resolve isso numericamente (por chute e refinamento). Montando uns testes:
-
-
-
-
Logo a frequência de cruzamento de fase (e que será nosso
) fica perto de
Passo 4
Agora usamos a condição de cruzamento de ganho: em
o módulo de
deve valer 1. O módulo é
Logo impomos
e daí
Substituindo
Passo 5
Por fim, o pico máximo da resposta em frequência de malha fechada (chamado
) costuma aproximar-se de
Como a gente fixou PM =
Resposta
k≈133
Módulo máximo da resposta em frequência de malha fechada ≈1,414
Módulo máximo da resposta em frequência de malha fechada ≈1,414