A função de transferência de malha aberta de um sistema com realimentação unitária representando um processo químico é dado por:
Gp(s)=k cdot e^-0,05 ss(s+5)(s+10)
Determine o valor de k para que a margem de fase seja igual a 45^circ. Qual será o módulo máximo da resposta em frequiência de malha fechada para este valor de k ?

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: temos a função de transferência de malha aberta com realimentação unitária
Gp(s)=k,e^-0,05ss,(s+5),(s+10)
e a gente quer:
1) ajustar o ganho k para que a margem de fase seja 45^circ,
2) descobrir o pico máximo da resposta em frequência de malha fechada para esse k.
O conteúdo aqui é Análise em Frequência (Bode): a definição de margem de fase, como achar a frequência de cruzamento de ganho (onde |G(jomega)|=1), resolver uma equação de fase que inclui atraso e, por fim, usar a relação típica entre margem de fase e pico de malha fechada.

Passo 2

Primeiro, lembra do que é margem de fase (PM): é quanto a curva de fase em Bode está acima de -180^circ no ponto onde o módulo cruza 0 dB. Matematicamente:
PM=180^circ+ang<= G(jomegagc),,e queremos PM=45^circ
Então a gente impõe
ang<= G(jomegagc)=-180^circ+45^circ=-135^circ
Agora, a fase total de
G(jomega)=k,e^-j0,05omegajomega,(jomega+5),(jomega+10)
é a soma de
1) fase do denominador sem atraso:
ang<= G0(jomega)=-90^circ-arctan!tfracomega5-arctan!tfracomega10,
  1. fase do atraso: ang<= e^-j0,05omega=-0,05omega;180^circpi
    Logo a condição de fase vira
    -90^circ-arctan!tfracomega5-arctan!tfracomega10-0,05omega180^circpi=-135^circ

Passo 3

Rearranjando, dá
arctan!tfracomega5+arctan!tfracomega10+0,05omega180^circpi=45^circ
A gente resolve isso numericamente (por chute e refinamento). Montando uns testes:
- omega=1,rad/s → soma≈20°
- omega=2,rad/s → soma≈39°
- omega=2,3,rad/s → soma≈44°
- omega=2,35,rad/s → soma≈45,1°
Logo a frequência de cruzamento de fase (e que será nosso omegagc) fica perto de
omegagcapprox2,34;rad/s

Passo 4

Agora usamos a condição de cruzamento de ganho: em omegagc o módulo de G(jomega) deve valer 1. O módulo é
|G(jomega)|=komega;raizomega^2+5^2;raizomega^2+10^2
Logo impomos
komegagcraizomegagc^2+25,raizomegagc^2+100=1
e daí
k=omegagc,raizomegagc^2+25,raizomegagc^2+100
Substituindo omegagc!=2,34 rad/s dá
kapprox2,34cdotraiz2,34^2+25,raiz2,34^2+100approx133

Passo 5

Por fim, o pico máximo da resposta em frequência de malha fechada (chamado Mr) costuma aproximar-se de
Mrapprox1sin(PM)
Como a gente fixou PM = 45^circ, vem
Mrapprox1sin45^circ=1tfracraiz22=raiz2approx1,414

Resposta

k≈133
Módulo máximo da resposta em frequência de malha fechada ≈1,414

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