5 Para a função de transferência a seguir, determine as posições dos polos e dos zeros, represente-os graficamente no plano
e em seguida, escreva uma expressão para a forma geral da resposta ao degrau sem resolver para a transformada inversa de Laplace. Declare a natureza da resposta (superamortecida, subamortecida, etc).
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede: (i) localização de polos e zeros, (ii) representação gráfica no plano
, (iii) forma geral da resposta ao degrau sem fazer a inversa de Laplace, e (iv) natureza da resposta. Vamos usar conceitos básicos de zeros (raízes do numerador), polos (raízes do denominador) e comportamento temporal a partir da posição dos polos.
Passo 2
Para achar o zero basta resolver
logo
Para achar os polos resolvemos
ou seja
Passo 3
No plano
(eixo real horizontal, eixo imaginário vertical) marcamos:
– um zero em no eixo real (usamos “
”),
– dois polos em e em
no eixo imaginário (usamos “
”).
Gráfico esquemático:
– um zero em
– dois polos em
Gráfico esquemático:
Im
↑
× | ×
|
––––+––––→ Re
◯ (–2,0)
|
––––+––––→ Re
◯ (–2,0)
Passo 4
Para o degrau unitário a saída é
Sem inverter para o domínio do tempo, sabemos que polos em
geram termos oscilatórios com frequência
rad/s. Assim, a forma geral da resposta ao degrau é
onde
,
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais (vetor de resíduos da fração parcial).
Passo 5
Como os polos estão em
(nenhum termo real negativo), não há amortecimento: a resposta é oscilatória não amortecida (marginalmente estável).
Resposta
Zero em
.
Polos em e
.
Polos em
Representação no plano
:
– zero “ ” em
– polos “ ” em
e
– zero “
– polos “
Forma geral da resposta ao degrau:
Natureza da resposta: oscilatória não amortecida (marginalmente estável).