5 Para a função de transferência a seguir, determine as posições dos polos e dos zeros, represente-os graficamente no plano s e em seguida, escreva uma expressão para a forma geral da resposta ao degrau sem resolver para a transformada inversa de Laplace. Declare a natureza da resposta (superamortecida, subamortecida, etc).
T(s)=s+2s^2+9

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
T(s)=s+2s^2+9
e pede: (i) localização de polos e zeros, (ii) representação gráfica no plano s, (iii) forma geral da resposta ao degrau sem fazer a inversa de Laplace, e (iv) natureza da resposta. Vamos usar conceitos básicos de zeros (raízes do numerador), polos (raízes do denominador) e comportamento temporal a partir da posição dos polos.

Passo 2

Para achar o zero basta resolver
s+2=0
logo
szero=-2
Para achar os polos resolvemos
s^2+9=0
ou seja
s^2=-9Longrightarrow spolos=pm 3,j

Passo 3

No plano s (eixo real horizontal, eixo imaginário vertical) marcamos:
– um zero em ,-2 no eixo real (usamos “ circ”),
– dois polos em ,j3 e em -j3 no eixo imaginário (usamos “ times”).
Gráfico esquemático:
 Im  
 ↑       
× | ×
|
––––+––––→ Re
◯ (–2,0)

Passo 4

Para o degrau unitário a saída é
C(s)=T(s)cdot1s =s+2sl(s^2+9r)
Sem inverter para o domínio do tempo, sabemos que polos em pm j3 geram termos oscilatórios com frequência 3 rad/s. Assim, a forma geral da resposta ao degrau é
y(t)=A + Bcos(3t) + Csin(3t),
onde A, B e C são constantes determinadas pelas condições iniciais (vetor de resíduos da fração parcial).

Passo 5

Como os polos estão em pm j3 (nenhum termo real negativo), não há amortecimento: a resposta é oscilatória não amortecida (marginalmente estável).

Resposta

Zero em s=-2.
Polos em s=+3j e s=-3j.
Representação no plano s:
– zero “ circ” em -2+0j
– polos “ times” em +3j e -3j
Forma geral da resposta ao degrau:
y(t)=A + Bcos(3t) + Csin(3t)
Natureza da resposta: oscilatória não amortecida (marginalmente estável).

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