Obtenha uma representação em série de potências de x(1+x^2)^2, se |x|<1, derivando a série (4) termo a termo.

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de
x(1+x^2)^2
para |x|<1, usando derivação termo a termo da série conhecida
11+x^2=sumn=0^infty(-1)^n x^2n
O conteúdo é expansão em série de potências e uso de derivação de séries dentro do raio de convergência.

Passo 2

Vamos derivar a série
11+x^2=sumn=0^infty(-1)^n x^2n
termo a termo. Como cada termo é an(x)=(-1)^n x^2n, sua derivada é
an'(x)=(-1)^ncdot2n,x^2n-1
Logo, para |x|<1:
ddxl(11+x^2r) =sumn=1^infty(-1)^n,2n,x^2n-1

Passo 3

Por outro lado, calculamos diretamente a derivada da função racional:
ddxl(11+x^2r) =-2x(1+x^2)^2
Igualando as duas expressões de ddx(1/(1+x^2)) obtemos
-2x(1+x^2)^2 =sumn=1^infty(-1)^n,2n,x^2n-1

Passo 4

Dividindo por -2 e isolando x(1+x^2)^2, resulta
x(1+x^2)^2 =sumn=1^infty(-1)^n+1n,x^2n-1
Trocando o índice para k=n-1, isto é n=k+1, fica
x(1+x^2)^2 =sumk=0^infty(-1)^k,(k+1),x^2k+1

Resposta

x(1+x^2)^2 =sumk=0^infty(-1)^k,(k+1),x^2k+1, |x|<1

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