(a) Use a série (2) de modo a encontrar uma representação em série de potências para 11+x^3. (b) Derive termo a termo a série encontrada na parte (a), a fim de achar uma representação em série de potências para -3 x^2(1+x^3)^2.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, em (a) usar a série geométrica
11-u ;=;sumn=0^inftyu^n
para obter uma série de potências para tfrac11+x^3. Depois, em (b), derivar termo a termo essa série para representar -3x^2(1+x^3)^2.

Passo 2

Para (a), tomamos u=-x^3. Então
11+x^3 =11-(-x^3) =sumn=0^infty(-x^3)^n =sumn=0^infty(-1)^n x^3n,
válido para |-x^3|<1, isto é, |x|<1.

Passo 3

Para (b), derivamos ambos os lados termo a termo. À esquerda,
ddx!l(tfrac11+x^3r) =-3x^2(1+x^3)^2
À direita,
ddxsumn=0^infty(-1)^n x^3n =sumn=1^infty(-1)^n,3n,x^3n-1
Fazendo a troca de índice m=n-1 em sumn=1^infty(-1)^n3n,x^3n-1, obtemos também
summ=0^infty(-1)^m+1,3(m+1),x^3m+2

Resposta

(a) 11+x^3=sumn=0^infty(-1)^n x^3n, |x|<1\n
(b) -3x^2(1+x^3)^2 =sumn=1^infty(-1)^n3n,x^3n-1 =sumn=0^infty(-1)^n+13(n+1),x^3n+2, |x|<1

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