Um função vetorial
definida em uma aberto
, diz-se diferenciável no ponto
quando cada uma das suas funçõescoordenadas
é diferenciável neste ponto, para todo
. Assim, se
é tal que
, então sabemos que a derivada de cada componente
é dada por:
Segue-se naturalmente que a derivada da função vetorial
no ponto p , na direção de
é dada por:
Que podemos denotar ainda por
Em particular, quando a função vetorial é uma campo vetorial
, denotamos a derivada do campo vetorial
, no ponto
, na direção do vetor
da seguinte maneira:
Partindo desta definição, verifique que:
e toda função
que admite derivadas parciais no ponto
, onde
é base canônica de
😉
e toda função
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, usando a definição de derivada direcional de um campo vetorial, temos
para cada
. Aqui a matéria é derivada direcional de campos vetoriais e gradiente (Hessiana no caso de derivadas de segundo ordem).
Passo 2
Note que
é um campo vetorial cujas componentes são
Passo 3
Pela definição, a derivada direcional de
no ponto
na direção
é
Mas
é o vetor de derivadas de
, logo
Passo 4
Para terminar, fazemos o produto interno com
. Isso extrai a componente
de
, ou seja
como queríamos verificar.