Um função vetorial definida em uma aberto , diz-se diferenciável no ponto quando cada uma das suas funçõescoordenadas é diferenciável neste ponto, para todo . Assim, se é tal que , então sabemos que a derivada de cada componente é dada por:
Segue-se naturalmente que a derivada da função vetorial no ponto p , na direção de é dada por:
Que podemos denotar ainda por
Em particular, quando a função vetorial é uma campo vetorial , denotamos a derivada do campo vetorial , no ponto , na direção do vetor da seguinte maneira:
Partindo desta definição, verifique que:
e toda função que admite derivadas parciais no ponto , onde é base canônica de 😉

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, usando a definição de derivada direcional de um campo vetorial, temos
llang<= nablaeinabla f(p),,eirrang<= ;=;partial^2 fpartial xi^2(p)
para cada i. Aqui a matéria é derivada direcional de campos vetoriais e gradiente (Hessiana no caso de derivadas de segundo ordem).

Passo 2

Note que nabla fcolon UsubsetR^ntoR^n é um campo vetorial cujas componentes são
l(nabla fr)j(x) =partial fpartial xj(x), j=1,dots,n

Passo 3

Pela definição, a derivada direcional de nabla f no ponto p na direção ei é
nablaeinabla f(p) =dot(nabla f)(p)cdot ei =l(lang<=nabla(nabla f)1(p),eirang<=,dots,lang<=nabla(nabla f)n(p),eirang<=r)
Mas nabla(nabla f)j(p) é o vetor de derivadas de partial f/partial xj, logo
lang<=nabla(nabla f)j(p),eirang<= =partialpartial xil(partial fpartial xjr)(p) =partial^2 fpartial xi,partial xj(p)

Passo 4

Para terminar, fazemos o produto interno com ei. Isso extrai a componente i de nablaeinabla f(p), ou seja
llang<= nablaeinabla f(p),,eirrang<= =partial^2 fpartial xi,partial xi(p) =partial^2 fpartial xi^2(p),
como queríamos verificar.

Resposta

llang<= nablaeinabla f(p),,eirrang<= =partial^2 fpartial xi^2(p)

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