Um função vetorial definida em uma aberto , diz-se diferenciável no ponto quando cada uma das suas funçõescoordenadas é diferenciável neste ponto, para todo . Assim, se é tal que , então sabemos que a derivada de cada componente é dada por:
Segue-se naturalmente que a derivada da função vetorial no ponto p , na direção de é dada por:
Que podemos denotar ainda por
Em particular, quando a função vetorial é uma campo vetorial , denotamos a derivada do campo vetorial , no ponto , na direção do vetor da seguinte maneira:
Partindo desta definição, verifique que:
e todo campo tal que suas componentes admita derivadas parciais no ponto , onde é base canônica de .)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, tomando a base canônica e1,dots,en de R^n, vale
lang<= nablaeivec F(p),,eirang<= ;=;partial Fipartial xi(p)
onde vec F=(F1,dots,Fn) e nablavvec F(p) é a derivada de vec F em p na direção v. Lembrando que
nablavvec F(p);=;dot F(p)cdot v ;=;l(lang<=nabla F1(p),vrang<=,dots,lang<=nabla Fn(p),vrang<=r)

Passo 2

Escolhendo v=ei, a definição dá
nablaeivec F(p) =l(lang<=nabla F1(p),eirang<=,dots,lang<=nabla Fn(p),eirang<=r)
Mas nabla Fj(p)=(partialx1Fj(p),dots,partialxnFj(p)), então
lang<=nabla Fj(p),eirang<= =partialxiFj(p)
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nablaeivec F(p) =l(partialxiF1(p),dots,partialxiFn(p)r)

Passo 3

Para obter lang<=nablaeivec F(p),eirang<=, basta notar que, num produto escalar com ei, só o i-ésimo componente do vetor conta. Assim
lang<=nablaeivec F(p),,eirang<= =partialxiFi(p)

Resposta

lang<=nablaeivec F(p),,eirang<= =partial Fipartial xi(p)

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