Um função vetorial
definida em uma aberto
, diz-se diferenciável no ponto
quando cada uma das suas funçõescoordenadas
é diferenciável neste ponto, para todo
. Assim, se
é tal que
, então sabemos que a derivada de cada componente
é dada por:
Segue-se naturalmente que a derivada da função vetorial
no ponto p , na direção de
é dada por:
Que podemos denotar ainda por
Em particular, quando a função vetorial é uma campo vetorial
, denotamos a derivada do campo vetorial
, no ponto
, na direção do vetor
da seguinte maneira:
Partindo desta definição, verifique que:
e todo campo
tal que suas componentes
admita derivadas parciais no ponto
, onde
é base canônica de
.)
e todo campo
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, tomando a base canônica
de
, vale
onde
e
é a derivada de
em
na direção
. Lembrando que
Passo 2
Escolhendo
, a definição dá
Mas
, então
Logo
Passo 3
Para obter
, basta notar que, num produto escalar com
, só o
-ésimo componente do vetor conta. Assim