Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
A corrente em um circuito RLC em série é regida pelo problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial para a corrente
com
Para resolver, vamos usar a transformada de Laplace, reescrever e de convolução.
Passo 2
Escrevemos g(t) com degraus u(t-a):
g(t)=20-20,u(t-3pi)+20,u(t-4pi)
Passo 3
Tomando Laplace em ambos os lados e usando I(0)=10,;I'(0)=0,
LI''+;2 LI'+2 LI =20s-20e^-3pi ss+20e^-4pi ss
Como LI''=s^2widehat I(s)-s,10 e LI'=swidehat I(s)-10, obtemos
(s^2+2s+2),widehat I(s)-10s-20 =20s-20e^-3pi ss+20e^-4pi ss
Além disso, o fator 1/s no produto com 1/((s+1)^2+1) gerará, via convolução, integral0^t e^-tausintau,dtau. O deslocamento e^-a s introduzirá multiplicação por u(t-a) e troca tto t-a.
Passo 5
Fazendo a inversa parcela a parcela: 1. 10s+20(s+1)^2+1 =10s+1(s+1)^2+1+101(s+1)^2+1
inverte para