Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
A corrente I(t) em um circuito RLC em série é regida pelo problema de valor inicial:
I^prime prime(t)+2 I^prime(t)+2 I(t) & =g(t) I(0)=10 & I^prime(0)=0 onde g(t)= 20, & 0<t<3 pi 0, & 3 pi <= t<4 pi 20, & 4 pi<t

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial para a corrente
com
Para resolver, vamos usar a transformada de Laplace, reescrever e de convolução.

Passo 2

Escrevemos g(t) com degraus u(t-a):
g(t)=20-20,u(t-3pi)+20,u(t-4pi)

Passo 3

Tomando Laplace em ambos os lados e usando I(0)=10,;I'(0)=0,
LI''+;2 LI'+2 LI =20s-20e^-3pi ss+20e^-4pi ss
Como LI''=s^2widehat I(s)-s,10 e LI'=swidehat I(s)-10, obtemos
(s^2+2s+2),widehat I(s)-10s-20 =20s-20e^-3pi ss+20e^-4pi ss
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widehat I(s) =10s+20s^2+2s+2 +20s,(s^2+2s+2) -20e^-3pi ss,(s^2+2s+2) +20e^-4pi ss,(s^2+2s+2)

Passo 4

Note que
s^2+2s+2=(s+1)^2+1,
e que
Le^-tcos t=s+1(s+1)^2+1, Le^-tsin t=1(s+1)^2+1
Além disso, o fator 1/s no produto com 1/((s+1)^2+1) gerará, via convolução, integral0^t e^-tausintau,dtau. O deslocamento e^-a s introduzirá multiplicação por u(t-a) e troca tto t-a.

Passo 5

Fazendo a inversa parcela a parcela:
1. 10s+20(s+1)^2+1 =10s+1(s+1)^2+1+101(s+1)^2+1
inverte para
10e^-tcos t+10e^-tsin t
2. 20s,1(s+1)^2+1
inverte para
20integral0^te^-tausintau,dtau
3. -20e^-3pi ss,1(s+1)^2+1
inverte para
-20,u(t-3pi)integral0^,t-3pie^-tausintau,dtau
4. 20e^-4pi ss,1(s+1)^2+1
inverte para
20,u(t-4pi)integral0^,t-4pie^-tausintau,dtau

Passo 6

Calculamos a integral básica:
integral0^ye^-tausintau,dtau =[-e^-tau(sintau+costau)2]0^y =12l(1-e^-y[sin y+cos y]r)

Passo 7

Substituindo na inversa completa e simplificando, chegamos a
I(t)=10e^-t(cos t+sin t) +20cdot12l(1-e^-t[sin t+cos t]r) -20,u(t-3pi)cdot12l(1-e^-(t-3pi)[sin(t-3pi)+cos(t-3pi)]r)
+20,u(t-4pi)cdot12l(1-e^-(t-4pi)[sin(t-4pi)+cos(t-4pi)]r)
As duas primeiras parcelas somam 10, o que dá para 0<t<3pi. Depois aparece a ativação dos degraus.

Resposta

I(t)= 10,&0<t<3pi,[6pt] 10,e^-(t-3pi)l[sin(t-3pi)+cos(t-3pi)r],&3pi<t<4pi,[6pt] 10 +10,e^-(t-3pi)l[sin(t-3pi)+cos(t-3pi)r] -10,e^-(t-4pi)l[sin(t-4pi)+cos(t-4pi)r],&t>4pi ]

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