Sejam
e
campos vetoriais diferenciáveis em um aberto
e
uma função diferenciável, verifique que:
;
Passo 1
O enunciado diz que
e
são campos vetoriais diferenciáveis em um aberto
. Precisamos mostrar que a operação de divergente é linear, ou seja,
Para isso usaremos a definição de divergente em coordenadas cartesianas e a linearidade da derivada parcial.
Passo 2
Lembrando a definição: se
então
Passo 3
O campo soma é
Aplicando a definição de divergente ao campo
, temos
Passo 4
Como a derivada parcial é linear,
Substituindo na soma, obtemos
que é exatamente
.