Sejam X e Y campos vetoriais diferenciáveis em um aberto U subset R^n e f: U R uma função diferenciável, verifique que:
div(X+Y)=div(X)+div(Y);

Passo 1

O enunciado diz que vec X e vec Y são campos vetoriais diferenciáveis em um aberto Usubset R^n. Precisamos mostrar que a operação de divergente é linear, ou seja,
div(vec X+vec Y) =div(vec X) +div(vec Y)
Para isso usaremos a definição de divergente em coordenadas cartesianas e a linearidade da derivada parcial.

Passo 2

Lembrando a definição: se
vec X=(X^1,X^2,dots,X^n), vec Y=(Y^1,Y^2,dots,Y^n),
então
div(vec X) =sumi=1^npartial X^ipartial x^i e div(vec Y) =sumi=1^npartial Y^ipartial x^i

Passo 3

O campo soma é
vec X+vec Y =(X^1+Y^1,;X^2+Y^2,;dots,;X^n+Y^n)
Aplicando a definição de divergente ao campo vec X+vec Y, temos
div(vec X+vec Y) =sumi=1^npartialpartial x^il(X^i+Y^ir)

Passo 4

Como a derivada parcial é linear,
partialpartial x^il(X^i+Y^ir) =partial X^ipartial x^i +partial Y^ipartial x^i
Substituindo na soma, obtemos
div(vec X+vec Y) =sumi=1^nl(partial X^ipartial x^i+partial Y^ipartial x^ir) =sumi=1^npartial X^ipartial x^i +sumi=1^npartial Y^ipartial x^i,
que é exatamente
div(vec X)+div(vec Y).

Resposta

div(vec X+vec Y) =div(vec X) +div(vec Y)

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