A função f(x)=2 x-cos x possui uma raiz real barx isolada no intervalo [0, pi4 ]. Calcule o valor de barx com quatro casas decimais (varepsilon=10^-3) através do método de Newton. Dica: tome como aproximação para x0 o valor médio do intervalo.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos que encontrar uma raiz real da função que está isolada no intervalo . Vamos usar o método de Newton para calcular o valor dessa raiz com quatro casas decimais ( ). Para começar, vamos precisar do valor médio do intervalo como aproximação inicial .

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor inicial x0 = 0 + pi42 = pi8 approx 0,3927 como o ponto médio do intervalo :

Passo 3

O método de Newton utiliza a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Para aplicar essa fórmula, precisamos da derivada da função f'(x) = 2 + sin x . Calculamos :

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Newton para encontrar f(x0) = 2x0 - cos x0 approx 2(0,3927) - cos(0,3927) approx 0,7854 - 0,9239 approx -0,1385 :
f'(x0) = 2 + sin x0 approx 2 + sin(0,3927) approx 2 + 0,3827 approx 2,3827
x1 = x0 - f(x0)f'(x0) approx 0,3927 - -0,13852,3827 approx 0,3927 + 0,0581 approx 0,4508

Passo 5

Verificamos a precisão entre |x1 - x0| = |0,4508 - 0,3927| = 0,0581 e :
Como , precisamos continuar iterando.

Passo 6

Calculamos f(x1) = 2x1 - cos x1 approx 2(0,4508) - cos(0,4508) approx 0,9016 - 0,9001 approx 0,0015 usando f'(x1) = 2 + sin x1 approx 2 + sin(0,4508) approx 2 + 0,4336 approx 2,4336 :
x2 = x1 - f(x1)f'(x1) approx 0,4508 - 0,00152,4336 approx 0,4508 - 0,0006 approx 0,4502

Passo 7

Verificamos a precisão entre |x2 - x1| = |0,4502 - 0,4508| = 0,0006 e :
Como , atingimos a precisão desejada.

Resposta

O valor da raiz isolada no intervalo é aproximadamente .

Exercícios relacionados