(Adaptado do Livro dos autores Boyce e DiPrima) Uma massa de 0,25 kg cai a partir do repouso em um meio que oferece uma resistência de 0,2|v|, onde v está em m / s. Determine:
A equação da velocidade de queda desta massa em função do tempo;

Passo 1

Enunciado resumido: Temos uma massa de 0,25 kg caindo a partir do repouso sob ação da gravidade e de uma força de resistência proporcional à velocidade, dada por 0,2|v|. O conteúdo aqui é equação diferencial ordinária de 1° ordem (linear) obtida da 2ª Lei de Newton, e vamos precisar resolver essa ODE com condição inicial v(0)=0.

Passo 2

Aplicando a 2ª Lei de Newton na direção do movimento, a força resultante é peso menos resistência, logo temos:
mdvdt=mg - b,v
onde m=0,25 kg, g=9,8 m/s² e b=0,2 kg/s.

Passo 3

Reescrevendo a ODE no formato padrão e identificando o coeficiente:
dvdt + bmv = g
Aqui b/m=0,2/0,25=0,8, então a equação fica dv/dt+0,8,v=9,8.

Passo 4

Encontrando o fator integrante mu(t):
mu(t)=e^integral0,8,dt=e^0,8t
Multiplicando a ODE por mu(t) e integrando, obtemos:
e^0,8tv = integral 9,8,e^0,8tdt = 9,80,8e^0,8t + C

Passo 5

Aplicando a condição inicial v(0)=0 para achar C:
e^0cdot0 = 9,80,8e^0 + C Rightarrow C=-9,80,8

Passo 6

Voltando a v(t) e simplificando:
v(t)=9,80,8l(1 - e^-0,8tr)
Observe que 9,8/0,8=12,25.

Resposta

v(t)=12,25l(1 - e^-0,8tr) m/s

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