(Adaptado do Livro dos autores Boyce e DiPrima) Uma massa de
cai a partir do repouso em um meio que oferece uma resistência de
, onde
está em
. Determine:
A equação da velocidade de queda desta massa em função do tempo;
A equação da velocidade de queda desta massa em função do tempo;
Passo 1
Enunciado resumido: Temos uma massa de 0,25 kg caindo a partir do repouso sob ação da gravidade e de uma força de resistência proporcional à velocidade, dada por 0,2|v|. O conteúdo aqui é equação diferencial ordinária de 1° ordem (linear) obtida da 2ª Lei de Newton, e vamos precisar resolver essa ODE com condição inicial v(0)=0.
Passo 2
Aplicando a 2ª Lei de Newton na direção do movimento, a força resultante é peso menos resistência, logo temos:
onde m=0,25 kg, g=9,8 m/s² e b=0,2 kg/s.
Passo 3
Reescrevendo a ODE no formato padrão e identificando o coeficiente:
Aqui
, então a equação fica
.
Passo 4
Encontrando o fator integrante
:
Multiplicando a ODE por
e integrando, obtemos:
Passo 5
Aplicando a condição inicial
para achar
:
Passo 6
Voltando a
e simplificando:
Observe que
.