A função y = cos(x) é também conhecida como cossenoide, quando avaliada no intervalo de 0 a 2 π. Ordene os valores da função cosseno no intervalo  [ − π 2 , 3 π 2 ]?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função $ y = \cos(x) $, também chamada de cossenoide, que normalmente analisamos no intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $. Mas aqui, a gente precisa ordenar os valores dessa função no intervalo de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{3\pi}{2} $. Isso significa que vamos identificar os valores que o cosseno assume nesse intervalo e colocá-los em ordem, do menor para o maior. Para resolver isso, vamos precisar entender como o gráfico do cosseno se comporta e identificar seus valores máximos e mínimos no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico da função $ y = \cos(x) $. O cosseno é uma função periódica com período $ 2\pi $, o que significa que ele se repete a cada $ 2\pi $ unidades. Seu gráfico começa em $ y = 1 $ quando $ x = 0 $, desce até $ y = -1 $ em $ x = \pi $, e volta para $ y = 1 $ em $ x = 2\pi $.

Passo 3

Agora, vamos analisar o intervalo de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{3\pi}{2} $. Para facilitar, podemos dividir esse intervalo em partes onde o comportamento do cosseno é fácil de entender:
  • De $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $
  • De $ \frac{\pi}{2} $ a $ \frac{3\pi}{2} $

Passo 4

No intervalo de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $, o cosseno começa em $ x = -\frac{\pi}{2} $ com $ y = 0 $, atinge seu valor máximo $ y = 1 $ em $ x = 0 $, e volta a $ y = 0 $ em $ x = \frac{\pi}{2} $.

Passo 5

No intervalo de $ \frac{\pi}{2} $ a $ \frac{3\pi}{2} $, o cosseno desce de $ y = 0 $ em $ x = \frac{\pi}{2} $ até $ y = -1 $ em $ x = \pi $, e depois sobe de volta para $ y = 0 $ em $ x = \frac{3\pi}{2} $.

Passo 6

Então, os valores que a função cosseno assume nesse intervalo são:
  • $ y = 1 $ no ponto de máximo
  • $ y = 0 $ nos pontos onde cruza o eixo
  • $ y = -1 $ no ponto de mínimo

Passo 7

Agora, vamos ordenar esses valores do menor para o maior:
$ -1, 0, 1 $

Resposta

Os valores da função cosseno no intervalo $ \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right] $ ordenados do menor para o maior são:
[ -pi2, 3pi2 ]

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