A capacitância equivalente de um circuito (C0) é calculada através da fórmula C 0 = C 1 + C 2 C 3 C 2 + C 3 , com todas as capacitâncias medidas em μ F . As capacitâncias C1 e C2 tem seus valores aumentados a uma taxa de 0,1 μ F / s . A variância C3 decresce com uma taxa de ¿ 0,1 μ F / s . Determine a variação da capacitância equivalente com o tempo em segundo para um instante que C1= C2 = 10 μ F e C3 = 15 μ F .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um circuito com três capacitores cujas capacitâncias estão mudando com o tempo. Queremos descobrir como a capacitância equivalente $ C_0 $ varia nesse momento específico onde $ C_1 = C_2 = 10,\mu F $ e $ C_3 = 15,\mu F $. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para ver a taxa de variação de $ C_0 $ em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fórmula da capacitância equivalente $ C_0 $ do circuito. A equação dada é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ estão aumentando a uma taxa de $ 0,1,\mu F/s $, e $ C_3 $ está diminuindo a uma taxa de $ 0,1,\mu F/s $. Nosso objetivo é encontrar a derivada de $ C_0 $ em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{dC_0}{dt} $.
Passo 3
Vamos derivar a equação de $ C_0 $ em relação ao tempo $ t $. Para isso, aplicamos a regra da derivada para somas e frações. A derivada de $ C_1 $ em relação ao tempo é simplesmente a taxa de variação de $ C_1 $, que é $ \frac{dC_1}{dt} = 0,1,\mu F/s $.
Agora, para a parte da fração:
Usamos a regra do quociente:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
- $ C_1 = C_2 = 10,\mu F $
- $ C_3 = 15,\mu F $
- $ \frac{dC_1}{dt} = \frac{dC_2}{dt} = 0,1,\mu F/s $
- $ \frac{dC_3}{dt} = -0,1,\mu F/s $
Primeiro, calculamos a derivada da fração:
Simplificando:
Agora, somamos a derivada de $ C_1 $:
Resposta
A variação da capacitância equivalente $ C_0 $ com o tempo é de $ 0,12,\mu F/s $ nesse instante.