Encontre os limites das funções a seguir. Justifique, caso o limite não exista.
lim x 9 x^481-81x-9,

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular o limite abaixo e entender como lidar com uma indeterminação do tipo 0/0.
limx to 9 x^481 - 81x - 9
O conteúdo é limite de funções com forma indeterminada, e podemos usar fatoração ou regra de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Para ver o tipo de indeterminação, substituímos diretamente x = 9: no numerador temos 9^481 - 81 = 81 - 81 = 0 e no denominador 9 - 9 = 0. Logo, aparece uma forma 0/0, que é indeterminada.

Passo 3

Vamos eliminar essa indeterminação fatorando o numerador. Escrevemos
x^481 - 81 = x^4 - 656181,
e como 6561 = 9^4, temos
x^4 - 6561 = (x^2 - 81)(x^2 + 81)
e ainda
x^2 - 81 = (x - 9)(x + 9)

Passo 4

Substituindo a fatoração no limite:
(x - 9)(x + 9)(x^2 + 81)81x - 9 = (x - 9)(x + 9)(x^2 + 81)81(x - 9)
Agora podemos cancelar o fator (x - 9), obtendo
(x + 9)(x^2 + 81)81

Passo 5

Com a expressão simplificada, basta substituir x = 9 sem gerar indeterminação:
(9 + 9)(9^2 + 81)81 = 18 cdot 16281
Isso nos leva a um valor numérico definido, que representa o limite pedido.

Resposta

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