(FUNCERN - 2019) Considerando que \sin (x)+\cos (x)=a, o valor de \sin ^{4}(x)+\cos ^{4}(x) tem como representação
(A) 1-\frac{\left(1-a^{2}\right)^{2}}{2}
(B) \frac{1-\left(1-a^{2}\right)^{2}}{2}
(C) 1+\frac{\left(1-a^{2}\right)^{2}}{2}
(D) \frac{1+\left(1-a^{2}\right)^{2}}{2}

Passo 1

O enunciado dá a igualdade \sin(x)+\cos(x)=a.
A pergunta é: expressar \sin^{4}(x)+\cos^{4}(x) em função de a.

Passo 2

Uma identidade algébrica útil (para quaisquer u,v) é:
u^{4}+v^{4}=(u^{2}+v^{2})^{2}-2u^{2}v^{2}.
Aqui tomamos u=\sin(x) e v=\cos(x). Essa identidade serve para reduzir potências quartas a quadradas e ao produto u^{2}v^{2}, que é mais fácil de manejar.

Passo 3

Usando a identidade trigonométrica fundamental:
\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1.
Portanto a parte (u^{2}+v^{2})^{2} vira (\sin^{2}x+\cos^{2}x)^{2}=1^{2}=1.

Passo 4

Restou calcular \sin^{2}(x)\cos^{2}(x)=(\sin(x)\cos(x))^{2}. Para isso usamos o a fornecido: ele nos dá \sin(x)+\cos(x)=a. Ao elevar ao quadrado:
a^{2}=(\sin x+\cos x)^{2}=\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin x\cos x.
Substituindo \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 obtemos
a^{2}=1+2\sin x\cos x,
logo
\sin x\cos x=\frac{a^{2}-1}{2}.

Passo 5

Agora voltamos à fórmula do Passo 2:
\sin^{4}x+\cos^{4}x=(\sin^{2}x+\cos^{2}x)^{2}-2(\sin x\cos x)^{2}.
Substituindo os valores achados:
\sin^{4}x+\cos^{4}x=1-2\left(\frac{a^{2}-1}{2}\right)^{2}.
Fazendo as contas:
\sin^{4}x+\cos^{4}x=1-2\cdot\frac{(a^{2}-1)^{2}}{4}=1-\frac{(a^{2}-1)^{2}}{2}.
Como (a^{2}-1)^{2}=(1-a^{2})^{2}, podemos escrever
\sin^{4}x+\cos^{4}x=1-\frac{\left(1-a^{2}\right)^{2}}{2}.

Passo 6

Compare essa expressão com as alternativas dadas: corresponde exatamente à alternativa (A).

Resposta

(A)

Exercícios relacionados