(IDHTEC - 2016, BARRA DE GUABIRABAPE) Sejam
e
as raízes complexas da equação polinomial
. Podemos afirmar que o resultado da expressão
é igual a:
(A) 337
(B) 338
(C) 339
(D) 340
(E) 341
(A) 337
(B) 338
(C) 339
(D) 340
(E) 341
Passo 1
O enunciado dá que
e
são as raízes da equação polinomial
A pergunta é calcular o valor da expressão
Informações relevantes extraídas do enunciado (usando as relações de Viète para uma equação quadrática
):
- Soma das raízes:
. (Porque o coeficiente de é , então .) - Produto das raízes:
. (Porque o termo constante é .)
Passo 2
Vamos reduzir a expressão pedida a quantidades que já conhecemos (
e
). Para isso usamos identidades algébricas úteis. Primeiro, a identidade que relaciona
com
e
:
Explicando essa identidade: ao expandir
obtém-se
; subtraindo
sobra
.
Passo 3
Agora precisamos de
e de
. Há outra identidade simples:
Explicando: expandindo
, isolando
dá a identidade acima.
Usando os valores de
e
que pegamos no Passo 1:
Portanto
E
Passo 4
Substituímos em
:
logo
Passo 5
Agora calculamos a expressão pedida:
Passo 6
Resumo rápido: usei Viète para obter
e
, depois usei identidades algébricas simples para escrever
em termos de
e
, e finalmente calculei o valor numérico. Está tudo consistente e pronto para a prova — respira, você consegue!
Resposta
(B)