(IDHTEC - 2016, BARRA DE GUABIRABAPE) Sejam a e b as raízes complexas da equação polinomial x^{2}+2 x+15=0. Podemos afirmar que o resultado da expressão
\frac{a^{4}+b^{4}}{2}+(a b)^{2}
é igual a:
(A) 337
(B) 338
(C) 339
(D) 340
(E) 341

Passo 1

O enunciado dá que a e b são as raízes da equação polinomial
x^{2}+2x+15=0.
A pergunta é calcular o valor da expressão
\frac{a^{4}+b^{4}}{2}+(ab)^{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado (usando as relações de Viète para uma equação quadrática x^{2}+cx+d=0):
  • Soma das raízes: a+b = -2. (Porque o coeficiente de x é 2, então a+b=-2.)
  • Produto das raízes: ab = 15. (Porque o termo constante é 15.)

Passo 2

Vamos reduzir a expressão pedida a quantidades que já conhecemos ( a+b e ab). Para isso usamos identidades algébricas úteis. Primeiro, a identidade que relaciona a^{4}+b^{4} com a^{2}+b^{2} e a^{2}b^{2}:
a^{4}+b^{4} = (a^{2}+b^{2})^{2} - 2a^{2}b^{2}.
Explicando essa identidade: ao expandir (a^{2}+b^{2})^{2} obtém-se a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}; subtraindo 2a^{2}b^{2} sobra a^{4}+b^{4}.

Passo 3

Agora precisamos de a^{2}+b^{2} e de a^{2}b^{2}. Há outra identidade simples:
a^{2}+b^{2} = (a+b)^{2} - 2ab.
Explicando: expandindo (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, isolando a^{2}+b^{2} dá a identidade acima.
Usando os valores de a+b e ab que pegamos no Passo 1:
(a+b)^{2} = (-2)^{2} = 4, \qquad ab = 15.
Portanto
a^{2}+b^{2} = 4 - 2\cdot 15 = 4 - 30 = -26.
E
a^{2}b^{2} = (ab)^{2} = 15^{2} = 225.

Passo 4

Substituímos em a^{4}+b^{4} = (a^{2}+b^{2})^{2} - 2a^{2}b^{2}:
(a^{2}+b^{2})^{2} = (-26)^{2} = 676,
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a^{4}+b^{4} = 676 - 2\cdot 225 = 676 - 450 = 226.

Passo 5

Agora calculamos a expressão pedida:
\frac{a^{4}+b^{4}}{2} + (ab)^{2} = \frac{226}{2} + 225 = 113 + 225 = 338.

Passo 6

Resumo rápido: usei Viète para obter a+b e ab, depois usei identidades algébricas simples para escrever a^{4}+b^{4} em termos de a+b e ab, e finalmente calculei o valor numérico. Está tudo consistente e pronto para a prova — respira, você consegue!

Resposta

(B) 338

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