(FUNCERN/IFRN, Edital 01/2025) Em um movimento unidimensional cujas posições são representadas pela variável x, medida em metros, uma única força \vec{F}, com mesma direção do movimento, cujo módulo é F(x)=a x+b, é aplicada sobre uma partícula de massa 1,0 \mathrm{~kg}, cuja velocidade, quando sua posição é x 0=0, vale v 0=0. Considerando tal situação e sabendo que a=2,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}^{2} e b=10 \mathrm{kgm} / \mathrm{s}^{2}, pode-se afirmar que a velocidade da partícula, quando esta atinge a posição x=2,0 metros, é de aproximadamente:
(a) 6,9 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(b) 7,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(c) 4,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(d) 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado descreve um movimento unidimensional sob a ação de uma força dependente da posição x, dada por
F(x)=a\,x+b,
com m=1{,}0\\ \mathrm{kg}, a=2{,}0\\ \mathrm{kg/s^2}, b=10\\ \mathrm{kg\,m/s^2}, velocidade inicial v(0)=0 e pede v(2{,}0). Como a aceleração não é constante, não podemos usar diretamente as fórmulas de cinemática; precisamos usar o Teorema Trabalho–Energia.

Passo 2

O Teorema Trabalho–Energia diz que o trabalho da força entre x_0 e x altera a energia cinética:
\Delta K = W = \int_{x_0}^{x} F(x')\,dx'.
Como K=\tfrac12 m v^2 e v(0)=0, temos
\tfrac12\,m\,v^2(2) = \int_{0}^{2} (a\,x + b)\,dx.

Passo 3

Calculemos o trabalho:
W = \int_{0}^{2} (a\,x + b)\,dx = \left[\tfrac{a\,x^2}{2} + b\,x\right]_{0}^{2} = \tfrac{a\,(2)^2}{2} + b\,(2) = 2a + 2b.
Substituindo a=2{,}0 e b=10:
W = 2\cdot2{,}0 + 2\cdot10 = 4 + 20 = 24\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Igualando W à variação de energia cinética:
\tfrac12\,m\,v^2(2) = 24,
com m=1, resulta
v^2(2) = 2\cdot24 = 48,
v(2) = \sqrt{48}\approx6{,}928\\ \mathrm{m/s}\approx6{,}9\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) 6,9\\ \mathrm{m/s}.

Exercícios relacionados