(FUNCERN/IFRN, Edital 05/2014) Um reservatório tem a forma de um cilindro e encontra-se completamente cheio de água. Fazendo-se um pequeno orifício no fundo desse reservatório e mantendo-se a parte superior aberta, é correto afirmar que:
(a) o tempo necessário para escoar a primeira metade do volume total da água pelo orifício é superior ao tempo para escoar a segunda metade.
(b) o tempo necessário para escoar a primeira metade do volume total da água pelo orifício é inferior ao tempo para escoar a segunda metade.
(c) o tempo necessário para escoar a primeira metade do volume total da água pelo orifício é igual ao tempo para escoar a segunda metade.
(d) as informações apresentadas não são suficientes para avaliar a relação entre os tempos necessários para escoar a primeira e a segunda metade do volume total de água.
(a) o tempo necessário para escoar a primeira metade do volume total da água pelo orifício é superior ao tempo para escoar a segunda metade.
(b) o tempo necessário para escoar a primeira metade do volume total da água pelo orifício é inferior ao tempo para escoar a segunda metade.
(c) o tempo necessário para escoar a primeira metade do volume total da água pelo orifício é igual ao tempo para escoar a segunda metade.
(d) as informações apresentadas não são suficientes para avaliar a relação entre os tempos necessários para escoar a primeira e a segunda metade do volume total de água.
Passo 1
O enunciado descreve um reservatório em forma de cilindro, totalmente cheio de água, com um orifício pequeno no fundo. Ao mantermos a parte superior aberta, a água escoa com velocidade dada pela lei de Torricelli. Precisamos usar essa lei e integrar a taxa de variação do nível de água para comparar o tempo de escoamento da primeira e da segunda metade do volume.
Passo 2
Seja
a área da base do cilindro,
a área do orifício e
a altura do nível de água em função do tempo. Pela lei de Torricelli,
onde
é a velocidade de saída da água e
a aceleração da gravidade. O fluxo volumétrico é
Como
, temos
logo
Passo 3
Para encontrar o tempo
de
até
, separamos variáveis:
Integramos de
a
:
Passo 4
Para o tempo
de
até
, fazemos igual:
Passo 5
Escrevendo ambas em função de
:
Como
e
, segue que
ou seja,
.
Resposta
(b) o tempo necessário para escoar a primeira metade do volume total da água pelo orifício é inferior ao tempo para escoar a segunda metade.