(FUNCERN/IFRN, Edital 05/2014) Um reservatório tem a forma de um cilindro e encontra-se completamente cheio de água. Fazendo-se um pequeno orifício no fundo desse reservatório e mantendo-se a parte superior aberta, é correto afirmar que:
(a) o tempo necessário para escoar a primeira metade do volume total da água pelo orifício é superior ao tempo para escoar a segunda metade.
(b) o tempo necessário para escoar a primeira metade do volume total da água pelo orifício é inferior ao tempo para escoar a segunda metade.
(c) o tempo necessário para escoar a primeira metade do volume total da água pelo orifício é igual ao tempo para escoar a segunda metade.
(d) as informações apresentadas não são suficientes para avaliar a relação entre os tempos necessários para escoar a primeira e a segunda metade do volume total de água.

Passo 1

O enunciado descreve um reservatório em forma de cilindro, totalmente cheio de água, com um orifício pequeno no fundo. Ao mantermos a parte superior aberta, a água escoa com velocidade dada pela lei de Torricelli. Precisamos usar essa lei e integrar a taxa de variação do nível de água para comparar o tempo de escoamento da primeira e da segunda metade do volume.

Passo 2

Seja A a área da base do cilindro, a a área do orifício e h(t) a altura do nível de água em função do tempo. Pela lei de Torricelli,
v = \sqrt{2 g\,h(t)},
onde v é a velocidade de saída da água e g a aceleração da gravidade. O fluxo volumétrico é
\frac{dV}{dt} = -\,a\,v = -\,a\,\sqrt{2 g\,h(t)}.
Como V = A\,h, temos
\frac{d}{dt}(A\,h) = A\,\frac{dh}{dt} = -\,a\,\sqrt{2 g\,h},
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\frac{dh}{dt} = -\,\frac{a}{A}\,\sqrt{2 g}\,\sqrt{h}.

Passo 3

Para encontrar o tempo t_1 de h(0)=h_0 até h = h_0/2, separamos variáveis:
dt = -\,\frac{A}{a\,\sqrt{2 g}}\;\frac{dh}{\sqrt{h}}.
Integramos de h_0 a h_0/2:
t_1 = \frac{A}{a\sqrt{2g}}\int_{h_0}^{h_0/2}\!(-)\,\frac{dh}{\sqrt{h}} = \frac{A}{a\sqrt{2g}}\;2\bigl(\sqrt{h_0}-\sqrt{\tfrac{h_0}{2}}\bigr).

Passo 4

Para o tempo t_2 de h=h_0/2 até h=0, fazemos igual:
t_2 = \frac{A}{a\sqrt{2g}}\int_{h_0/2}^{0}\!(-)\,\frac{dh}{\sqrt{h}} = \frac{A}{a\sqrt{2g}}\;2\sqrt{\tfrac{h_0}{2}}.

Passo 5

Escrevendo ambas em função de \sqrt{h_0}:
t_1 = \frac{2A}{a\sqrt{2g}}\;\sqrt{h_0}\,\Bigl(1 - \tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr), \quad t_2 = \frac{2A}{a\sqrt{2g}}\;\sqrt{h_0}\;\frac{1}{\sqrt{2}}.
Como \tfrac{1}{\sqrt{2}}\approx0,707 e 1-1/\sqrt{2}\approx0,293, segue que
t_2 \approx 2{,}4\,t_1,
ou seja, t_2 > t_1.

Resposta

(b) o tempo necessário para escoar a primeira metade do volume total da água pelo orifício é inferior ao tempo para escoar a segunda metade.

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