Em cada um dos Problemas de 1 a 12 . encontre a soluçâo geral da equaçâo diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes constantes
O conteúdo é “equação diferencial linear não homogênea de 2ª ordem” e vamos usar: 1) solução complementar via equação característica; 2) método dos coeficientes a determinar para termos não homogêneos (constante e seno).
Passo 2
Primeiro encontramos a solução complementar (homogênea). Escrevendo a parte homogênea:
montamos a equação característica:
as raízes são
e
. Logo a solução complementar é
Passo 3
Agora buscamos um particular para o termo constante
. Como
é raiz da característica, tentamos um polinômio de grau 1:
.
Calculamos:
Substituindo em
:
Logo
e
Passo 4
Em seguida, tratamos o termo
. Como não há ressonância com raízes complexas, usamos
Então
Substituindo em
dá as equações de coeficientes:
Da primeira vem
. Na segunda:
e
. Assim
Passo 5
A solução geral é a soma da complementar com os particulares:
Logo,
Resposta
y(t) = C_{1} + C_{2}e^{-t/2} + \tfrac{3}{2}t - \tfrac{1}{17}\cos(2t) - \tfrac{4}{17}\sin(2t)