Em cada um dos Problemas de 1 a 12 . encontre a soluçâo geral da equaçâo diferencial dada.
4 y^prime prime+2 y^prime=3+4 sen 2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes constantes
4y'' + 2y' = 3 + 4sin(2t)
O conteúdo é “equação diferencial linear não homogênea de 2ª ordem” e vamos usar: 1) solução complementar via equação característica; 2) método dos coeficientes a determinar para termos não homogêneos (constante e seno).

Passo 2

Primeiro encontramos a solução complementar (homogênea). Escrevendo a parte homogênea:
4y'' + 2y' = 0
montamos a equação característica:
4r^2 + 2r = 0 implies 2r(2r + 1) = 0
as raízes são r1 = 0 e r2 = -tfrac12. Logo a solução complementar é
yc(t) = C1 e^0,t + C2 e^-tfrac12 t = C1 + C2 e^-t/2.

Passo 3

Agora buscamos um particular para o termo constante 3. Como r=0 é raiz da característica, tentamos um polinômio de grau 1: yp1(t) = At.
Calculamos:
yp1' = A, yp1'' = 0
Substituindo em 4y'' + 2y':
4cdot0 + 2A = 2A stackrel!= 3
Logo A = tfrac32 e
yp1(t) = tfrac32 ,t.

Passo 4

Em seguida, tratamos o termo 4sin(2t). Como não há ressonância com raízes complexas, usamos
yp2(t) = Bcos(2t) + Csin(2t)
Então
yp2' = -2Bsin(2t) + 2Ccos(2t),
yp2'' = -4Bcos(2t) -4Csin(2t)
Substituindo em 4y'' + 2y' = 4sin(2t) dá as equações de coeficientes:
-16B + 4C = 0,
-16C - 4B = 4
Da primeira vem C = 4B. Na segunda:
-16(4B) -4B = 4 implies -68B = 4 implies B = -tfrac117,
e C = -tfrac417. Assim
yp2(t) = -tfrac117cos(2t) - tfrac417sin(2t)

Passo 5

A solução geral é a soma da complementar com os particulares:
y(t) = yc(t) + yp1(t) + yp2(t)
Logo,
y(t) = C1 + C2 e^-t/2 + tfrac32,t - tfrac117cos(2t) - tfrac417sin(2t)

Resposta

y(t) = C_{1} + C_{2}e^{-t/2} + \tfrac{3}{2}t - \tfrac{1}{17}\cos(2t) - \tfrac{4}{17}\sin(2t)

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