Para as funções
e
determinar as derivadas parciais
para
e
, usando a regra da cadeia.
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar as derivadas parciais de $ w $ em relação a $ u $ e $ v $, ou seja, $ \frac{\partial w}{\partial u} $ e $ \frac{\partial w}{\partial v} $ quando $ u = 2 $ e $ v = 1 $. Vamos usar a regra da cadeia para isso. Primeiro, vamos entender como as funções estão relacionadas:
- $ w = x^{3} + \sqrt{x y} + y \cos(x z) $
- $ x = 2u - 3v $
- $ y = u^{2} + \ln v $
- $ z = \sqrt{v} $
Vamos precisar derivar $ w $ em relação a $ u $ e $ v $ considerando que $ w $ depende de $ x $, $ y $ e $ z $, que por sua vez dependem de $ u $ e $ v $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar $ \frac{\partial w}{\partial u} $. Pela regra da cadeia, temos:
Mas como $ z = \sqrt{v} $ não depende de $ u $, $ \frac{\partial z}{\partial u} = 0 $. Então, a fórmula simplifica para:
Passo 3
Vamos calcular cada termo individualmente.
Primeiro, as derivadas parciais de $ w $:
Agora, as derivadas das funções intermediárias:
Passo 4
Agora, substituímos $ u = 2 $ e $ v = 1 $ nas funções intermediárias:
Passo 5
Com esses valores, calculamos as derivadas parciais de $ w $:
Passo 6
Substituímos nas expressões de $ \frac{\partial w}{\partial u} $:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial w}{\partial v} $ usando a regra da cadeia:
Vamos calcular cada derivada:
Também precisamos de $ \frac{\partial w}{\partial z} $:
Passo 8
Substituindo $ u = 2 $, $ v = 1 $, $ x = 1 $, $ y = 4 $, $ z = 1 $:
Agora, substituímos tudo em $ \frac{\partial w}{\partial v} $:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais avaliadas em $ u = 2 $ e $ v = 1 $ são: