Para as funções w=x^3+raizx y+y cos x z, x=2 u-3 v, y=u^2+ln v e z=raizv determinar as derivadas parciais partial wpartial u e partial wpartial v para u=2 e v=1, usando a regra da cadeia.

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar as derivadas parciais de $ w $ em relação a $ u $ e $ v $, ou seja, $ \frac{\partial w}{\partial u} $ e $ \frac{\partial w}{\partial v} $ quando $ u = 2 $ e $ v = 1 $. Vamos usar a regra da cadeia para isso. Primeiro, vamos entender como as funções estão relacionadas:
  • $ w = x^{3} + \sqrt{x y} + y \cos(x z) $
  • $ x = 2u - 3v $
  • $ y = u^{2} + \ln v $
  • $ z = \sqrt{v} $
Vamos precisar derivar $ w $ em relação a $ u $ e $ v $ considerando que $ w $ depende de $ x $, $ y $ e $ z $, que por sua vez dependem de $ u $ e $ v $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar $ \frac{\partial w}{\partial u} $. Pela regra da cadeia, temos:
partial wpartial u
Mas como $ z = \sqrt{v} $ não depende de $ u $, $ \frac{\partial z}{\partial u} = 0 $. Então, a fórmula simplifica para:
partial wpartial u = partial wpartial x cdot partial xpartial u + partial wpartial y cdot partial ypartial u + partial wpartial z cdot partial zpartial u

Passo 3

Vamos calcular cada termo individualmente.
Primeiro, as derivadas parciais de $ w $:
w
partial wpartial x = 3x^2 + y2raizx y - y z sin(x z)
Agora, as derivadas das funções intermediárias:
partial wpartial y = x2raizx y + cos(x z)
partial xpartial u = 2

Passo 4

Agora, substituímos $ u = 2 $ e $ v = 1 $ nas funções intermediárias:
u = 2
v = 1
x = 2(2) - 3(1) = 4 - 3 = 1

Passo 5

Com esses valores, calculamos as derivadas parciais de $ w $:
w
partial wpartial x = 3(1)^2 + 42raiz1 cdot 4 - 4 cdot 1 cdot sin(1 cdot 1) = 3 + 42 cdot 2 - 4 sin(1) = 3 + 1 - 4 sin(1)

Passo 6

Substituímos nas expressões de $ \frac{\partial w}{\partial u} $:
partial wpartial u
Simplificando:
partial wpartial u = (3 + 1 - 4 sin(1)) cdot 2 + (14 + cos(1)) cdot 2(2)

Passo 7

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial w}{\partial v} $ usando a regra da cadeia:
partial wpartial v
Vamos calcular cada derivada:
partial wpartial v = partial wpartial x cdot partial xpartial v + partial wpartial y cdot partial ypartial v + partial wpartial z cdot partial zpartial v
partial xpartial v = -3
partial ypartial v = 1v = 1 (pois v = 1)
Também precisamos de $ \frac{\partial w}{\partial z} $:
partial zpartial v = 12raizv = 12

Passo 8

Substituindo $ u = 2 $, $ v = 1 $, $ x = 1 $, $ y = 4 $, $ z = 1 $:
u = 2
Agora, substituímos tudo em $ \frac{\partial w}{\partial v} $:
v = 1
Simplificando:
x = 1

Resposta

As derivadas parciais avaliadas em $ u = 2 $ e $ v = 1 $ são:
u = 2
v = 1

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