Utilizando as propriedades operatórias e as regras de derivação, calcule as derivadas das função abaixo:
f(x)=1+cos (x)1-cos (x)

Passo 1

Nesse exercício, vamos derivar a função f(x)=1+cos(x)1-cos(x). O conteúdo envolve a regra do quociente para derivadas e a derivada de cos(x), além das propriedades operatórias básicas (derivada de soma e de constante).

Passo 2

Identificamos as funções do quociente: u(x)=1+cos(x) e v(x)=1-cos(x). Logo, usando ddxcos(x)=-sin(x), temos:
u'(x)=-sin(x) e v'(x)=+sin(x).

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Substituindo u, v, u' e v':
f'(x)=(-sin(x))(1-cos(x))-(1+cos(x))(sin(x))(1-cos(x))^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
(-sin(x))(1-cos(x))-(1+cos(x))sin(x) = -sin(x)+sin(x)cos(x)-sin(x)-sin(x)cos(x) = -2sin(x)

Passo 5

Portanto, a derivada final é
f'(x)=-2sin(x)(1-cos(x))^2

Resposta

f’(x)=\frac{-2\sin(x)}{(1-\cos(x))^2}

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