Utilizando as propriedades operatórias e as regras de derivação, calcule as derivadas das função abaixo:
f(r)=raiz1+r1-r

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f®=√ 1+r1-r, ou seja, é uma função composta que envolve a raiz quadrada e um quociente. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Escrevemos
f(r)=(1+r1-r)^1/2
para identificar g(x)=x^{1/2} e h®=(1+r)/(1-r). Assim, por regra da cadeia,
f’®=g’(h®)⋅h’®.

Passo 3

Primeiro calculamos h’® pela regra do quociente. Se h®=\frac{u}{v} com u=1+r e v=1−r, então
h'(r)=v·u'−u·v'v^2=(1−r)·1−(1+r)·(−1)(1−r)^2=1−r+1+r(1−r)^2=2(1−r)^2

Passo 4

Agora calculamos g’(x) para g(x)=x^{1/2}. Sabemos que g’(x)=\frac{1}{2√x}. Logo,
f’®=g’(h®)⋅h’®=\frac{1}{2√{h®}}⋅\frac{2}{(1−r)^2}.

Passo 5

Cancelando o 2 no numerador e denominador, obtemos
f'(r)=1√h(r),(1−r)^2=1√1+r1-r,(1−r)^2
Para simplificar, note que √ 1+r1-r=√{1+r}/√{1-r}, de modo que

Passo 6

após simplificar ficamos com
[f’®=\frac{√{1-r}}{√{1+r},(1−r)2}=\frac{1}{√{1+r},(1−r){3/2}}.

Resposta

f'(r)=1raiz1+r,(1-r)^3/2

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