Para as funções abaixo calcule, caso exista, as derivadas parciais, nos pontos indicados:
(25.4) f(x, y)=ll3 x^2+2 yx^2-y & ; se y neq x^2 3 & ; se y=x^2 ; P0(1,0) e P1(1,1).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ nos pontos $ P_{0}(1,0) $ e $ P_{1}(1,1) $. O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais de funções definidas por partes. Para isso, vamos precisar conhecer a definição de derivadas parciais e como aplicá-las em funções que têm expressões diferentes dependendo da condição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
f(x, y) = 3x^2 + 2yx^2 - y & se y neq x^2 3 & se y = x^2
Isso significa que a função tem uma expressão diferente quando $ y $ é igual a $ x^{2} $ e quando não é. Precisamos verificar as derivadas parciais em dois pontos específicos: $ P_{0}(1,0) $ e $ P_{1}(1,1) $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais são:
f(x, y)
Primeiro, calculamos $ f_x $ e $ f_y $ para $ y \neq x^{2} $ usando a expressão $ \frac{3x^{2} + 2y}{x^{2} - y} $.

Passo 4

Para calcular $ f_x $, usamos a regra do quociente:
fx
Simplificando:
fx = (6x)(x^2 - y) - (3x^2 + 2y)(2x)(x^2 - y)^2
Para $ f_y $:
fx = 6x(x^2 - y) - 2x(3x^2 + 2y)(x^2 - y)^2 = 6x^3 - 6xy - 6x^3 - 4xy(x^2 - y)^2 = -10xy(x^2 - y)^2

Passo 5

Agora, vamos avaliar estas derivadas no ponto $ P_{0}(1,0) $.
Primeiro, verificamos se $ y \neq x^{2} $ em $ P_{0} $:
P0(1,0)
Portanto, usamos as expressões calculadas acima.
Para $ f_x $ em $ P_{0}(1,0) $:
y neq x^2
Para $ f_y $ em $ P_{0}(1,0) $:
P0

Passo 6

Agora, vamos avaliar as derivadas no ponto $ P_{1}(1,1) $.
Primeiro, verificamos se $ y \neq x^{2} $ em $ P_{1} $:
P1(1,1)
Como $ y = x^{2} $, a função $ f(x, y) $ é igual a 3 nesse ponto. Para calcular as derivadas parciais neste caso, usamos a definição de derivada para funções definidas por partes.

Passo 7

Para $ P_{1}(1,1) $, onde $ y = x^{2} $, a função é constante $ f(x, y) = 3 $. As derivadas parciais de uma função constante são zero, pois não há variação em nenhuma direção.
Portanto:
P1(1,1)

Resposta

As derivadas parciais da função $ f(x, y) $ são:
  • No ponto $ P_{0}(1,0) $:
    f(x, y)
  • No ponto $ P_{1}(1,1) $:
    P0(1,0)

Exercícios relacionados