Para as funções abaixo calcule, caso exista, as derivadas parciais, nos pontos indicados:
(25.4)
e
.
(25.4)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ nos pontos $ P_{0}(1,0) $ e $ P_{1}(1,1) $. O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais de funções definidas por partes. Para isso, vamos precisar conhecer a definição de derivadas parciais e como aplicá-las em funções que têm expressões diferentes dependendo da condição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Isso significa que a função tem uma expressão diferente quando $ y $ é igual a $ x^{2} $ e quando não é. Precisamos verificar as derivadas parciais em dois pontos específicos: $ P_{0}(1,0) $ e $ P_{1}(1,1) $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais são:
Primeiro, calculamos $ f_x $ e $ f_y $ para $ y \neq x^{2} $ usando a expressão $ \frac{3x^{2} + 2y}{x^{2} - y} $.
Passo 4
Para calcular $ f_x $, usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Para $ f_y $:
Passo 5
Agora, vamos avaliar estas derivadas no ponto $ P_{0}(1,0) $.
Primeiro, verificamos se $ y \neq x^{2} $ em $ P_{0} $:
Portanto, usamos as expressões calculadas acima.
Para $ f_x $ em $ P_{0}(1,0) $:
Para $ f_y $ em $ P_{0}(1,0) $:
Passo 6
Agora, vamos avaliar as derivadas no ponto $ P_{1}(1,1) $.
Primeiro, verificamos se $ y \neq x^{2} $ em $ P_{1} $:
Como $ y = x^{2} $, a função $ f(x, y) $ é igual a 3 nesse ponto. Para calcular as derivadas parciais neste caso, usamos a definição de derivada para funções definidas por partes.
Passo 7
Para $ P_{1}(1,1) $, onde $ y = x^{2} $, a função é constante $ f(x, y) = 3 $. As derivadas parciais de uma função constante são zero, pois não há variação em nenhuma direção.
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais da função $ f(x, y) $ são:
-
No ponto $ P_{0}(1,0) $:
-
No ponto $ P_{1}(1,1) $: